Come trovare il vettore immagine dell'applicazione lineare
In questo esercizio ho due spazi vettoriali V e W nel campo campo K.
$$ V \in R^3 \\ W \in R^2 $$
I due spazi vettoriali sono in relazione tramite un'applicazione lineare.
$$ f:V \rightarrow W = \begin{pmatrix} x-y+2 \\ 3x-2y-z \end{pmatrix} $$
Dato un vettore v di V devo trovare il vettore immagine w di W = f(V) tramite l'applicazione lineare f.
Soluzione
Prendo un vettore qualsiasi dello spazio vettoriale V.
$$ v = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
Poi calcolo le coordinate CBv del vettore con la base vettoriale Bv
Non essendo specificata una base in particolare, costruisco la combinazione lineare con la base canonica dello spazio vettoriale V=R3.
$$ v = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
poiché conosco gli elementi del vettore v
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ c_2 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ c_3 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 1 = c_1 \\ 1 = c_2 \\ 2 = c_3 \end{pmatrix} $$
Ho trovato le coordinate del vettore sulla base Bv.
$$ C_{Bv} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
Nota. Essendo una base canonica, gli elementi del vettore v coincidono con le coordinate.
A questo punto devo calcolare la matrice rappresentativa dell'applicazione lineare.
$$ f:V -> W $$
La matrice rappresentativa è la seguente:
$$ A_{f,Bv,Bw} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix} $$
Nota. Per vedere tutti i passaggi di costruzione della matrice rappresentativa rimando all'esercizio come trovare la matrice rappresentativa dell'applicazione lineare. Evito di riscriverli.
Secondo una proprietà della matrice rappresentativa, il prodotto della matrice rappresentativa con le coordinate del vettore C_Bv determina le coordinate C_Bw del vettore immagine
$$ A_{f,Bv,Bw} C_{Bv} = C_{Bw} $$
$$ A_{f,Bv,Bw} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = C_{Bw} $$
$$ \begin{pmatrix} 3+1+4 \\ 3+3+1 \end{pmatrix} = C_{Bw} $$
$$ \begin{pmatrix} 8 \\ 7 \end{pmatrix} = C_{Bw} $$
Ho così trovato le coordinate CBw del vettore immagine f(v) ossia w di W.
Ora devo trovare gli elementi del vettore immagine w.
Inserisco le coordinate CBw nella combinazione lineare di un generico vettore w ∈ W usando la base Bw.
$$ w = B_w \begin{pmatrix} 8 \\ 7 \end{pmatrix} $$
Non essendo specificata una base Bw in particolare, prendo come riferimento la base canonica a due dimensioni.
E' a due dimensioni perché il vettore w si trova nello spazio vettoriale W a due dimensioni (R2).
$$ w = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 7 \end{pmatrix} $$
$$ w = \begin{pmatrix} 8 \\ 7 \end{pmatrix} $$
Sono gli elementi del vettore immagine w=f(v).
Nota. Anche in questo caso le coordinate coincidono con gli elementi del vettore perché si tratta di una base canonica. Se avessi usato una base diversa da quella canonica, gli elementi non sarebbero stati uguali alle coordinati.
Ho così trovato il vettore w immagine dell'applicazione lineare.
E così via.
