L'isomorfismo degli spazi vettoriali
La definizione di isomorfismo
Due spazi vettoriali V e W sono detti isomorfi se esiste un isomorfismo, ossia se esiste un'applicazione lineare tali che: $$ f:V \rightarrow W \\ f^{-1}:W \rightarrow V $$
Gli spazi vettoriali isomorfi sono indicati con il simbolo "approssimativamente uguale"
$$ V \cong W $$
Il significato di isomorfismo degli spazi vettoriali
L'isomorfismo indica che i due spazi vettoriali hanno la stessa struttura algebrica.
E' una relazione di equivalenza, perché tra i due spazi vettoriali esiste una biiezione lineare.
Cos'è la relazione biiettiva?
La relazione biiettiva è una corrispondenza biunivoca tra due spazi vettoriali, tale che a ciascun vettore di uno spazio vettoriale V corrisponde un solo vettore dello spazio vettoriale W, e viceversa.
Nota. Il significato si comprende dal nome stesso. Il termine isomorfismo deriva dalle parole iso (uguale) + morfismo (forma) ossia "stessa forma".
Ciò ovviamente non vuol dire che gli spazi vettoriali siano eguali in ogni punto di vista.
I due spazi vettoriali sono uguali soltanto dal punto di vista algebrico.
Nota. Dalla definizione di isomorfismo, si deduce logicamente che qualsiasi applicazione lineare invertibile f-1 è un isomorfismo.
Endomorfismo
Si parla di endomorfismo ( o operatore lineare ) per indicare un'applicazione lineare che ha il dominio coincidente con il codominio.
$$ f:V \rightarrow V $$
Automorfismo
Si parla di automorfismo per indicare un endomorfismo invertibile.
$$ f:V \rightarrow V \\ f^{-1}:V \rightarrow V $$
Si tratta di un endomorfismo biiettivo.
Nota. La relazione biiettiva significa che a ciascun elemento di uno spazio vettoriale V corrisponde un solo elemento dello spazio vettoriale W, e viceversa.
In pratica, l'automorfismo è la relazione di isomorfismo di uno spazio vettoriale V con se stesso.
