Iniettività e suriettività delle applicazioni lineari
Un'applicazione lineare può essere iniettiva e suriettiva.
Applicazione lineare iniettiva
Dati due spazi vettoriali V e W due spazi vettoriali sul campo K e un'applicazione lineare f:V -> W
L'applicazione lineare f è iniettiva se e solo se la dimensione del nucleo è uguale a zero. $$ dim_K \: Ker(f) = 0 $$
Si può anche affermare che:
- Se dim(V)>dim(W) l'applicazione lineare non è iniettiva
- Se dim(V)=dim(W) l'applicazione lineare è iniettiva se e solo se è suriettiva.
Applicazione lineare suriettiva
L'applicazione lineare f è suriettiva se e solo se la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale di destinazione W. $$ dim_K \: Im(f) = dim(W) $$
Si può anche affermare che:
- Se dim(V)<dim(W) l'applicazione lineare non è suriettiva
Quando l'applicazione lineare è biettiva? L'applicazione lineare è biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva.
Un esempio di calcolo
In questo esercizio ho due spazi vettoriali V e W sul campo K
$$ V = R^3 \\ W = R^3 $$
e un'applicazione lineare f:V -> W
$$ f(v) = \begin{pmatrix} 2x \\ x-2y \\ 2y-z \end{pmatrix} $$
Devo calcolare se è un'applicazione lineare iniettiva e suriettiva.
Per comodità di calcolo, comincio con l'analisi della suriettività.
L'applicazione lineare è suriettiva?
Per rispondere a questa domanda devo calcolare la dimensione dell'immagine Im(f).
Nota. La dimensione dell'immagine Im(f) è uguale al rango della matrice rappresentativa associata Af all'applicazione lineare f.
Quindi calcolo la matrice associata Af usando la basi canoniche di R3.
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x \\ x-2y \\ 2y-z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(1) \\ 1-2(0) \\ 2(0)-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x \\ x-2y \\ 2y-z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(0) \\ 0-2(1) \\ 2(1)-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x \\ x-2y \\ 2y-z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(0) \\ 0-2(0) \\ 2(0)-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} $$
La matrice rappresentativa associata Af è la seguente:
$$ A_{f,Bv,Bw} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix} $$
Il determinante della matrice è diverso da zero.
$$ det(A_{f,Bv,Bw}) = 4 \ne 0 $$
Quindi, il rango della matrice è uguale a tre.
$$ r(A_f) = 3 $$
Per definizione teorica la dimensione dell'immagine Im(f) è uguale al rango della matrice.
Pertanto, la dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare è uguale a tre.
$$ dim \; Im(f) = r(A_f) = 3 $$
$$ dim \; Im(f) = 3 $$
Poiché anche la dimensione dello spazio vettoriale W=R3 è uguale a tre
$$ dim \: Im(f) = dim(W) = 3 $$
posso concludere che l'applicazione lineare è suriettiva.
L'applicazione è iniettiva?
Per rispondere a questa domanda devo calcolare la dimensione del nucleo ker(f)
Secondo il teorema della dimensione la somma delle dimensioni del nucleo e dell'immagine eguagliano la dimensione dello spazio vettoriale di partenza V.
$$ dim \: ker(f) + dim \: Im(f) = dim(V) $$
La dimensione di im(f) la conosco già ed è uguale a 3.
$$ dim \: ker(f) + 3 = dim(V) $$
Conosco anche la dimensione dello spazio vettoriale di partenza V=R3 ossia 3.
$$ dim \: ker(f) + 3 = 3 $$
Con un semplice passaggio algebrico trovo la dimensione del nucleo per differenza.
La dimensione del nucleo è uguale a zero.
$$ dim \: ker(f) = 3 - 3 = 0 $$
In conclusione, posso affermare che l'applicazione è iniettiva perché la dimensione del nucleo Ker(f) è uguale a zero.
E così via.
