ll nucleo dell'applicazione lineare
La definizione
Il nucleo di un'applicazione lineare f:V->W è la controimmagine del vettore nullo 0W. $$ Ker(f) := f^{-1}(0_v) = \{ v \in V : f(v)=0_w \} $$
Il nucleo di un'applicazione lineare si indica con Ker(f).
Il nucleo Ker(f) è un sottospazio vettoriale del dominio V.
Un esempio di calcolo
In questo esercizio ho due spazi vettoriali V e W definiti rispettivamente nel campo R3 e R3
$$ V = R^3 \\ W = R^3 $$
e un'applicazione lineare f:V→W.
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x-y-2 \\ x-y-1 \\ z+y \end{pmatrix} $$
Per trovare il nucleo dell'applicazione bisogna cerrcare la controimmagine f-1 del vettore nullo 0W.
$$ f^{-1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
ossia
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x-y-2 \\ x-y-1 \\ z+y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Questo equivale a scrivere il seguente: sistema di equazioni:
$$ \begin{cases} 2x-y-2=0 \\ x-y-1=0 \\ z+y=0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} 2(y+1)-y-2=0 \\ x=y+1 \\ z+y=0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} 2y+2-y-2=0 \\ x=y+1 \\ z+y=0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} y=0 \\ x=1 \\ z=0 \end{cases} $$
Quindi, il nucleo dell'applicazione è x=1, y=0, z=0
$$ f^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Nota. In questo caso il sistema ha una sola soluzione. In altri casi, il sistema potrebbe avere infinite soluzioni ( infiniti vettori ) o nessuna soluzione. Pertanto, il nucleo di un'applicazione lineare può essere composto da uno o infiniti elementi. Non può essere vuoto perché può essere al massimo composta dallo zero.
La dimensione del nucleo
La dimensione del nucleo di un'applicazione lineare è determinata dal teorema della dimensione.
Teorema della dimensione
Secondo il teorema della dimensione, in un'applicazione lineare f:V->W la somma della dimensione del nucleo ker(f) e dell'immagine Im(f) eguaglia la dimensione dello spazio vettoriale V. $$ dim \: ker(f) + dim \: Im(f) = dim(V) $$
Quindi, per calcolare la dimensione del nucleo ker(f) basta conoscere la dimensione dello spazio vettoriale e dell'immagine.
$$ dim \: ker(f) = dim(V) - dim \: Im(f) $$
La dimensione del nucleo dell'applicazione si trova per differenza.
Un esempio di calcolo
In questo esercizio ho un'applicazione lineare f:V->W da R3 a R2.
$$ V = R^3 \\ W = R^2 $$ $$ f:V \rightarrow W = \begin{cases} x + y + z \\ x + z \end{cases} $$
La dimensione dello spazio vettoriale è uguale alla dimensione della base.
Quindi la dimensione dello spazio vettoriale di partenza (V) è pari a tre.
$$ dim(V) = 3 $$
Ora calcolo la dimensione dell'immagine Im(f) dell'applicazione lineare.
In questo caso la dimensione dell'immagine Im(f) è pari a 2.
$$ dim(Imf) = 2 $$
Attenzione. Evito di scrivere i calcoli per ottenerlo. Voglio però sottolineare che la dimensione dell'immagine Im(f) non è detto che sia uguale alla dimensione dello spazio vettoriale W di destinazione (R2). Capita di fare confusione su questo aspetto. Per determinare la dimensione dell'immagine Im(f) occorre calcolare il rango della matrice rappresentativa dell'applicazione lineare. Per approfondimenti clicca qui.
Posso così trovare la dimensione del nucleo per differenza.
$$ dim \: ker(f) = dim(V) - dim \: Im(f) $$
$$ dim \: ker(f) = 3 - 2 $$
$$ dim \: ker(f) = 1 $$
Il nucleo dell'applicazione lineare ha dimensione 1.
E così via.
