L'immagine dell'applicazione lineare
La definizione
Dati due spazi vettoriali V e W e un'applicazione lineare f:V→W
Si dice immagine dell'applicazione lineare un'insieme dei vettori v di V che sono immagini di qualcosa $$ Im(f) = \{ f(v) : v \in V \} $$
L'immagine di un'applicazione lineare si indica con la notazione Im(f).
L'immagine Im(f) è un sottoinsieme dello spazio vettoriale W.
Un esempio pratico
In questo esercizio ho due spazi vettoriali V e W nel campo K=R.
$$ V = R^3 \\ W = R^2 $$
e un'applicazione lineare
$$ \begin{cases} x + y + z \\ x + z \end{cases} $$
L'immagine dell'applicazione lineare è l'insieme di tutti i vettori f(v)=w generati dalla base.
Non essendo specificata una base in particolare, scelgo la base canonica dello spazio R3.
$$ Im(f) = L [ f (1, 0, 0 ) , f ( 0, 1, 0 ), f ( 0, 0, 1 ) ] $$
Calcolo la funzione f(v) da R3 a R2 per ciascun vettore della base
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{cases} x + y + z \\ x + z \end{cases} = \begin{cases} 1+0+0 \\ 1+0 \end{cases} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{cases} x + y + z \\ x + z \end{cases} = \begin{cases} 0+1+0 \\ 0+0 \end{cases} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{cases} x + y + z \\ x + z \end{cases} = \begin{cases} 0+0+1 \\ 0+1 \end{cases} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Ho così trovato i tre vettori che compongono l'immagine Imf dell'applicazione lineare:
$$ Im(f) = L [ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ] $$
L'immagine Im(f) non è detto che sia una base dello spazio vettoriale W ma è sicuramente un generatore (span).
Nota. Im(f) è una base dello spazio vettoriale W soltanto se la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale W. $$ dim Im(f) = dim(W) $$
Come trovare la base dell'immagine
Se la dimensione dell'immagine non è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale W.
$$ dim (Imf) < dim(W) $$
Per trovare la base dell'immagine, è sufficiente eliminare le colonne linearmente dipendenti dalla matrice rappresentativa associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche.
Una volta eliminate le colonne linearmente dipendenti, le colonne rimanenti della matrice associata Af sono la base dell'immagine Im(f)
Attenzione. Questo metodo funziona soltanto se si utilizzano le basi canoniche per costruire la matrice rappresentativa.
La dimensione dell'immagine di un'applicazione lineare
La dimensione dell'immagine Imf dell'applicazione lineare è uguale al rango della matrice associata Af dell'applicazione lineare. $$ dim(Imf) = dim(A_f) $$
Un esempio pratico
Riprendo l'esercizio precedente
$$ V = R^3 \\ W = R^2 $$ $$ f:V \rightarrow W = \begin{cases} x + y + z \\ x + z \end{cases} $$
Le basi canoniche degli spazi vettoriali sono le seguenti:
$$ B_V = \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \} \in R^3 $$
$$ B_W = \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \} \in R^2 $$
Nel caso delle basi canoniche la matrice rappresentativa associata all'applicazione lineare è composta dalle immagini da R3 a R2:
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{cases} x + y + z \\ x + z \end{cases} = \begin{cases} 1+0+0 \\ 1+0 \end{cases} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{cases} x + y + z \\ x + z \end{cases} = \begin{cases} 0+1+0 \\ 0+0 \end{cases} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{cases} x + y + z \\ x + z \end{cases} = \begin{cases} 0+0+1 \\ 0+1 \end{cases} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
ossia
$$ A_f = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Il rango della matrice associata Af è uguale a due.
Quindi anche la dimensione della matrice associata è uguale a due.
$$ dim(A_f) = 2 $$
Nota. In questo caso la dimensione della matrice associata dim(Imf)=2 eguaglia la dimensione dello spazio vettoriale dim(W)=2. Pertanto, posso affermare che l'immagine Imf è una base di W. $$ dim (Imf) = dim(W) = 2 $$
