Come trovare le coordinate di un vettore in un'applicazione lineare rispetto a una base
In questo esercizio devo calcolare le coordinate di un determinato vettore v rispetto a una base in un'applicazione lineare f.
Ho due spazi vettoriali V e W nel campo K=R, rispettivamente a tre e due dimensioni.
$$ V \in R^3 \\ W \in R^2 $$
L'applicazione lineare è la seguente:
$$ f:V \rightarrow W = \begin{pmatrix} x-y+2 \\ 3x-2y-z \end{pmatrix} $$
Il vettore di cui voglio conoscere le coordinate è il seguente:
$$ v = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \:\:\: , \:\:\: v \in V$$
Come prima cosa, devo scegliere una base dello spazio vettoriale V.
Non essendo richiesta una base in particolare, prendo come riferimento la base canonica a tre dimensioni.
$$ B_V = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
A questo pounto ho tutto il necessario per calcolare le coordinate CBv del vettore con la base vettoriale Bv.
Scrivo la combinazione lineare di un generico vettore v appartenente a V
$$ v = c_1 b_1 + c_2 b_1 + c_3 b_3 $$
Sostituisco i vettori b1,b2,b3 con quelli della base canonica.
$$ v = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Poi sostituisco v con gli elementi del vettore in questione, quello di cui voglio trovare le coordinate.
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ c_2 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ c_3 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 1 = c_1 \\ 1 = c_2 \\ 2 = c_3 \end{pmatrix} $$
Ho così trovato le coordinate del vettore v rispetto alla base Bv tramite l'applicazione lineare f.
$$ C_{Bw} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
Nota. Le coordinate del vettore variano con la base scelta per lo spazio vettoriale. In questo esercizio ho usato una base canonica. Avrei però potuto usare qualsiasi altra base dello spazio vettoriale V.
