Gli operatori lineari simmetrici
In uno spazio vettoriale reale un operatore lineare è detto simmetrico ( o autoaggiunto ) quando l'applicazione lineare f è uguale alla sua applicazione lineare aggiunta f*. $$ f = f* $$
dove l'operatore lineare f è l'applicazione lineare
$$ f:V \rightarrow W \:\:\:\:con\:\:\: V=W $$
mentre l'applicazione lineare aggiunta f* è
$$ f*:W \rightarrow V \:\:\:\:con\:\:\: V=W $$
Se gli spazi vettoriali V e W hanno la stessa base ortonormale (Bv=Bw) la matrice rappresentativa dell'applicazione lineare Af è simmetrica.
$$ A_{f,Bv,Bw} \cdot C_{Bv} = C_{Bw} $$
Cos'è una matrice simmetrica? E' una matrice quadrata con gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale.
Un esempio di operatore lineare autoaggiunto
Questo è un operatore lineare f:V→V nello spazio reale R2
$$ f= \begin{cases} 7 x_1 -2 x_2 \\ -2 x_1 + 4 x_2 \end{cases} $$
Con la base canonica (ortonormale) ha la seguente matrice di trasformazione.
$$ A_f = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} $$
L'operatore lineare aggiunto f* ha la stessa base di f.
La sua matrice di trasformazione è uguale alla matrice trasposta di A.
$$ A_f* = ( A_f )^T = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} $$
In questo caso le matrici di trasformazione Af e Af* sono uguali perché si tratta di una matrice simmetrica.
Quindi l'operatore lineare aggiunto f* è uguale all'operatore lineare f
$$ f*=f = \begin{cases} 7 x_1 -2 x_2 \\ -2 x_1 + 4 x_2 \end{cases} = $$
E' un esempio di operatore lineare simmetrico o autoaggiunto.
Le proprietà degli operatori lineari simmetrici
Gli operatori simmetrici hanno le seguenti proprietà:
- Se v è un autovettore rispetto all'autovalore λ e w è un vettore ortogonale di v allora, f(w) è un vettore ortogonale di v. $$ v \perp w \rightarrow v \perp f(w) $$
Dimostrazione
Un operatore simmetrico è un'applicazione lineare aggiunta con V=W > $$ <v,f(w)> = <f(v),w> $$ Essendo v un autovettore di λ allora f(v) = λ v $$ <v,f(w)> = < λ v , w >$$ Portando fuori dal prodotto scalare l'autovalore λ diventa $$ <v,f(w)> = λ < v , w >$$ Ora, so che il vettore w è ortogonale a v quindi <v,w>=0 $$ <v,f(w)> = λ \cdot 0 $$ Qualunque sia il valore dell'autovalore <v,f(w)> è uguale a zero $$ <v,f(w)> = 0 $$ Quindi anche f(w) è un vettore ortogonale del vettore v $$ v \perp f(w) $$ E questo dimostra la proprietà. - Dati due autovalori distinti λ1 e λ2, gli autospazi associati E(λ1) e E(λ2) sono tra loro ortogonali.
$$ E(λ_1) \perp (λ_2). $$Dimostrazione
Dati due autovettori $$ λ_1 <v_1,v_2> \\ <λ_1 v_1,v_2> $$ Essendo un autovettore λ1v1 è uguale a f(v1) $$ <f( v_1) ,v_2> $$ L'operatore simmetrico è un'applicazione lineare aggiunta con V=W $$ <f( v_1) ,v_2> = < v_1 ,f(v_2)> $$ Essendo un autovettore f(v2) è uguale a λ2v2 $$ <f( v_1) ,v_2> = < v_1 , λ_2 v_2> \\ <f( v_1) ,v_2> = λ_2 < v_1 , v_2> $$ Quindi si ha $$ λ_1 <v_1,v_2> = λ_2 < v_1 , v_2> \\ (λ_1-λ_2) <v_1,v_2> = 0 $$ Poiché gli autovalori λ1 e λ2 sono distinti per l'ipotesi di partenza, deduco che ( λ1 - λ2, ) ≠ 0. Per eguagliare l'equazione l'unica soluzione è avere <v1,v2>=0 $$ < v_1 , v_2> = 0 $$ ciò equivale a dire che i due vettori v1 e v2 degli autospazi E(λ1) e E(λ2) sono vettori ortogonali
Un esempio pratico
L'operatore lineare f è simmetrico
$$ f= \begin{cases} 7 x_1 -x_2 \\ -2 x_1 + 4 x_2 \end{cases} $$
Con la base canonica in R2 la matrice di trasformazione è la seguente
$$ A_f = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} $$
Calcolo gli autovalori
Calcolo il polinomio caratteristico per trovare i suoi autovalori
$$ Pf = det(A-λId) $$ $$ Pf = det [ \begin{pmatrix} 7-λ & -2 \\ -2 & 4-λ \end{pmatrix} ] $$ $$ Pf = ( 7-λ ) ( 4-λ ) -4 $$ $$ Pf = λ^2 - 11λ + 24 $$
Per trovare gli autovalori devo calcolare le radici del polinomio caratteristico.
$$ \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac } } { 2a } $$
$$ \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 24 } } { 2 } $$
$$ \frac{11 \pm 5 } { 2 } $$
$$ \begin{cases} \frac{11 +5 } { 2 } = 8 \\ \frac{11 -5 } { 2 } =3 \end{cases} $$
Quindi, la matrice simmetrica A ha due autovalori λ1=8 e λ2=3.
Calcolo gli autospazi
Calcolo gli autospazi E(λ1) e E(λ2).
$$ E(λ_1) = A - λ_1 Id $$
$$ E(λ_1) = \begin{pmatrix} 7-λ_1 & -2 \\ -2 & 4-λ_1 \end{pmatrix} $$
Con λ1 = 8
$$ E(λ_1) = \begin{pmatrix} 7-8 & -2 \\ -2 & 4-8 \end{pmatrix} $$
$$ E(λ_1) = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} $$
Con λ2 = 3
$$ E(λ_2) = \begin{pmatrix} 7-3 & -2 \\ -2 & 4-3 \end{pmatrix} $$
$$ E(λ_2) = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} $$
Calcolo gli autovettori
Per trovare gli autovettori devo trovare il nucleo ker(f) degli autospazi
$$ E(λ_1) = \begin{cases} -x_1 -2 x_2 =0 \\ -2 x_1 -4 x_2 = 0 \end{cases} $$
Prendo come parametro x2=t e risolvo x1 rispetto a t.
$$ E(λ_1) = \begin{cases} -x_1 -2 x_2 =0 \\ x_2 = t \end{cases} = \begin{cases} x_1 = -2 x_2 \\ x_2 = t \end{cases} = \begin{cases} x_1 = -2 t \\ x_2 = t \end{cases} $$
Ho così trovato l'autovettore dell'autovalore λ1 ossia
$$ v_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Faccio la stessa cosa con l'autospazio E(λ2)
$$ E(λ_2) = \begin{cases} 4x_1 -2 x_2 =0 \\ -2x_1 + x_2 = 0 \end{cases} $$
Prendo come parametro x2=t e risolvo x1 rispetto a t.
$$ E(λ_2) = \begin{cases} 4x_1 -2 x_2 =0 \\ x_2 = t \end{cases} = \begin{cases} 4x_1 -2 t \\ x_2 = t \end{cases} = \begin{cases} x_1 = 1/2 t \\ x_2 = t \end{cases} $$
Ho così trovato l'autovettore dell'autovalore λ2 ossia
$$ v_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} $$
Pertanto gli autospazi sono
$$ E(λ_1) = \begin{Bmatrix} v_1 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix} $$
$$ E(λ_2) = \begin{Bmatrix} v_2 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix} $$
Prima proprietà degli operatori autoaggiunti
Prendo l'autovettore v1 e un vettore w ortogonale con v1.
$$ v_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \\ w = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
Nota. I due vettori sono ortogonali perché il loro prodotto scalare è nullo. $$ <v, w_1> = 0 $$
Secondo la prima proprietà se v è ortogonale a w allora v è ortogonale a f(w).
Calcolo l'immagine f(w)
$$ f(w)= A_{f} \cdot w = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} $$
Ora verifico se v e f(w) sono ortogonali
$$ < v , f(w) > = < \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} >= \2 \cdot 3 + 1 \cdot 6 = 0 $$
I due vettori sono effettivamente ortogonali.
La prima proprietà è soddisfatta.
Seconda proprietà degli operatori autoaggiunti
Secondo la seconda proprietà degli operatori autoaggiunti, dati due autovalori distinti λ1 e λ2, gli autospazi E(λ1) e E(λ2) sono ortogonali.
Conosco già gli autospazi.
$$ E(λ_1) = \begin{Bmatrix} v_1 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix} $$
$$ E(λ_2) = \begin{Bmatrix} v_2 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix} $$
Devo quindi verificare se v1 e v2 sono ortogonali
$$ < v_1 , v_2 > = < \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} > = -2 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 = 0 $$
I due autospazi sono effettivamente ortogonali tra loro.
Anche la seconda proprietà degli autospazi è soddisfatta.
