L'insieme delle applicazioni lineari
Cos'è l'insieme delle applicazioni lineari?
L'insieme delle applicazioni lineari è l'insieme di tutte le funzioni lineari ( applicazioni lineari ) esistenti tra due spazi vettoriali V e W sul campo K. Si indica con il simbolo HomK(V,W) o LK(V,W). $$ Hom_K(V,W) $$
Se il campo è chiaro, si indica semplicemente Hom(V,W) o L(V,W).
L'insieme HomK è uno spazio vettoriale?
L'insieme delle applicazioni lineari Hom(V,W) è a sua volta uno spazio vettoriale se soddisfa le seguenti proprietà. $$ (f_1 +_H f_2)(v)= f_1(v) +_W f_2(v) $$ $$ (a \cdot _H f)(v)= a \cdot _W f(v) $$
Dove +W e ·W sono rispettivamente la somma dei vettori in W e il prodotto di un vettore per uno scalare in W.
Le precedenti proprietà devono essere soddisfatte
- per ogni funzione dell'insieme delle applicazioni $$ \forall f_n \in Hom_K(V,W) $$
- per ogni vettore dello spazio vettoriale V $$ \forall v \in V $$
- per ogni scalare del campo K.$$ \forall a \in K $$
