Applicazione lineare aggiunta (o trasposta)
Nello spazio vettoriale reale ogni applicazione lineare f può essere associata a un'altra applicazione lineare f* tramite l'uguaglianza del prodotto scalare.
Se un'applicazione lineare f:V→W è associata a f*, allora per ogni coppia di vettori v di W e w di W esiste un'applicazione lineare associata f* tale che $$ < f(v) , w >_w = < f^*(w), v >_v $$
Il prodotto scalare nel membro di sinistra <f(v),w>w è sullo spazio vettoriale W mentre quello di destra <f*(w),v>v è sullo spazio vettoriale V.
Nota. Analogamente, se l'applicazione lineare è un operatore lineare f:V→V, ossia V=W , allora si parla di operatore lineare associato ( o trasposto ).
Se le applicazioni lineari f e f* (associata) hanno rispettivamente due basi ortonormali Bv e Bw, allora la matrice rappresentativa Af*,Bw,Bv è uguale alla matrice trasposta di Af,Bv,Bw. $$ A_{f*,Bw,Bv} = [ A_{f,Bv,Bw} ]^T $$
Attenzione. Quest'ultima relazione vale solo se le basi sono ortonormali.
Un esempio di applicazione lineare aggiunta
L'applicazione lineare f* è l'applicazione aggiunta (trasposta) di f.
$$ f = \begin{cases} x_1 + 3x_2 \\ 2x_1 + 4x_2 \end{cases} \\ \\ f^* = \begin{cases} x_1 + 2x_2 \\ 3x_1 + 4x_2 \end{cases} $$
Date due basi Bv e Bw rispettivamente di f e f* calcolo le matrici di trasformazione Af,Bv,Bw e Af*,Bw,Bv rispetto alle relative basi.
Per semplicità uso in entrambi i casi le basi canoniche ortonormali, in questo modo per calcolare le matrici di trasformazione Af e Af* mi basta copiare i coefficienti delle equazioni.
$$ A_{f,B_v,B_w} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \\ \\ A_{f*,B_w,B_v} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
Come si può facilmente vedere anche a occhio nudo, la matrice di trasformazione Af* è la matrice trasposta di Af.
$$ A_{f*} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = A_f^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}^T $$
Quindi, l'applicazione lineare f* è l'applicazione lineare aggiunta (o trasposta) dell'applicazione lineare f.
Per fare una verifica prendo due vettori qualsiasi v e w degli spazi vettoriali V e W.
Ad esempio
$$ v= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ w= \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Poi calcolo le loro immagini rispetto alle applicazioni f e f*
$$ f(v)= A_f \cdot v = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 10 \end{pmatrix} \\ f^*(w)= A_{f*} \cdot w = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 13 \end{pmatrix} $$
A questo punto verifico se i prodotti scalari <f(v),w>w e <f*(w),v>v sono uguali
$$ <f(v),w>_w = < \begin{pmatrix} 7 \\ 10 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} >_w = 7 \cdot 3+10 \cdot 1 = 21+10 = 31 \\ <f^*(w),v>_v = < \begin{pmatrix} 5 \\ 13 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} >_v = 2 \cdot 13+1 \cdot 5 = 26+5 = 31 $$
I due prodotti scalari coincidono, sono entrambi uguali a 31.
Pertanto, posso concludere che f* è un'applicazione lineare aggiunta di f.
L'applicazione lineare autoaggiunta ( simmetrica )
Si parla di applicazione lineare autoaggiunta ( o simmetrica ) nel caso particolare in cui l'applicazione lineare f è uguale all'applicazione lineare associata f* e le relative basi sono basi ortonormali. $$ f = f^* $$
Se si tratta di un operatore lineare, si parla di operatore lineare autoaggiunto o simmetrico.
