Il teorema spettrale
La definizione
In uno spazio vettoriale reale se un operatore lineare f è simmetrico (autoaggiunto), allora esiste una base ortonormale N composta da autovettori di autospazi E(λ1),E(λ2),...,E(λn) distinti tra loro.
Gli autovettori della base ortonormale devono appartenere ad autospazi diversi, ossia devono essere generati da autovalori λ differenti.
Quelli appartenenti allo stesso autospazio, invece, non sono vettori ortogonali.
Un esempio pratico
Ecco un esempio di applicazione del teorema spettrale.
Questo operatore lineare è simmetrico
$$ f= \begin{cases} 7 x_1 -2 x_2 \\ -2 x_1 + 4 x_2 \end{cases} $$
La matrice rappresentativa di f rispetto alla base canonica è la seguente:
$$ A_f = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} $$
La base canonica è una base ortonormale. Pertanto, la matrice rappresentativa è una matrice simmetrica.
Il polinomio caratteristico della funzione è il seguente:
$$ Pf = det(A-λId) $$ $$ Pf = det [ \begin{pmatrix} 7-λ & -2 \\ -2 & 4-λ \end{pmatrix} ] $$ $$ Pf = ( 7-λ ) ( 4-λ ) -4 $$ $$ Pf = λ^2 - 11λ + 24 $$
Per trovare gli autovalori devo cercare le radici del polinomio caratteristico, ossia i valori di λ che rendono l'equazione uguale a zero.
Gli autovalori sono due:
$$ λ_1 = 8 \\ λ_2 = 3 $$
Una volta trovati gli autovalori ottengo gli autospazi:
$$ E(λ_1) = \begin{Bmatrix} v_1 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix} $$
$$ E(λ_2) = \begin{Bmatrix} v_2 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix} $$
Prendo un autovettore da uno spazio e un altro autovettore dall'altro autospazio e li dispongo in colonna per formare una base.
$$ \begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix} $$
Gli autovettori corrispondenti ad autospazi distinti sono ortogonali.
Nota. In questo semplice caso ogni autospazio è composto da un solo autovettore. Se ci fossero altri autovettori, quelli appartenenti allo stesso autospazio sarebbero non ortogonali.
Per ottenere la base ortogonale utilizzo il metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
$$ u_1 = v_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ u_2 = v_2 - \frac{ < v_2 , u_1 >}{ <u_1,u_1>} \cdot u_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{ < \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} >}{ < \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}>} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} $$
Ho così ottenuto una base ortogonale composta dai vettori ortogonali u1 e u2.
$$ \begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix} $$
Tuttavia, non è ancora una base ortonormale.
Nota. Secondo la definizione, una base è base ortonormale se il prodotto scalare dei suoi vettori a coppia è uguale a zero se sono diversi (v≠w) oppure uno se sono uguali (v=w). In questo caso è soddisfatta soltanto la prima condizione (v≠w) ma non anche la seconda (v=w).
Per ottenere la base ortonormale mi basta normalizzare i vettori.
$$ \begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} \frac{-2}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}}} \\ \frac{1}{\sqrt{\frac{5}{4}}} \end{pmatrix} \end{Bmatrix} $$
Ho così ottenuto la base ortonormale degli autovettori appartenenti a diversi autospazi dell'operatore lineare f.
