La base dello spazio vettoriale
In algebra lineare una base è un sistema di generatori minimale dello spazio vettoriale V.
La definizione
In uno spazio vettoriale V sul campo K, un insieme di vettori B={v1,...,vn} generatori di V è una base di V se è composto da vettori linearmente indipendenti.
$$ B={v_1,...,v_n} $$
E' anche detta sistema libero di generatori.
Le caratteristiche della base, coordinate e dimensione
Le condizioni essenziali di una base dello spazio vettoriale sono due:
- Sistema di generatori
L'insieme dei vettori deve essere un sistema di generatoriNota. Ciò equivale a dire che ogni vettore dello spazio vettoriale V debba essere rappresentato tramite la combinazione lineare dei vettori della base. Così come accade in qualsiasi sistema di generatori LR.
- Indipendenza lineare
I vettori devono essere linearmente indipendenti. Ogni vettore vn della base vettoriale non può essere scritto come combinazione lineare degli altri vettori della base {v1,..,vn}.La differenza tra base e sistema di generatori. La caratteristica dell'indipendenza lineare di tutti i vettori della base B distingue le basi dai sistemi di generatori. In un generatore i vettori possono essere anche linearmente dipendenti.
Le coordinate o pesi dei vettori
In una base vettoriale B ogni vettore dello spazio vettoriale V è definito da un'unica combinazione lineare, ossia esiste un'unica n-pla di scalari (a1,...,an) detti coordinate o pesi.
$$ v = a_1 v_1 + ... + a_n v_n $$
Nota. Questa caratteristica delle basi vettoriali è dimostrata con il teorema dell'unicità della rappresentazione vettoriale tramite una base.
Pertanto, il sistema di equazioni lineari ammette una sola soluzione.
Si può quindi affermare che determinare una base equivale a determinare che un sistema lineare ammette un'unica soluzione.
La dimensione della base
Il numero degli elementi { v1,...,vn } nella base è detto dimensione. $$ dim ( n ) $$ $$ con \:\: n ∈ Z ≥ 0 $$
La dimensione di una base si scrive con la notazione dim seguita dalla cardinalità n degli elementi della base.
Una base può avere un numero finito o infinito di elementi.
- Dimensione finita. Una base è di dimensione finita pari a n se è composta da n vettori.
- Dimensione infinita. Una base è di dimensione infinita se è composta da un insieme infinito di vettori.
La dimensione zero. Soltanto lo spazio banale {0v} ha una dimensione zero. Lo spazio banale è composto solo da un vettore nullo ossia da un vettore linearmente dipendente. Non avendo vettori linearmente indipendenti al suo interno, lo spazio banale non ha basi vettoriali. Per questa ragione lo spazio banale {0v} è l'unico spazio ad avere una dimensione nulla.
Esempio
La base B è composta da due vettori.
$$ B = \{ v_1 , v_2 \} $$
Pertanto, la base ha dimensione 2.
Esempi e esercizi sulle basi vettoriali
Esempio 1
Nello spazio vettoriale V=R2 nel campo K=R, un sistema di generatori è composto dai vettori v1 e v2.
$$ v_1=(1,0) $$ $$v_2=(0,1) $$
Per capire se sono una base, devo verificare l'indipendenza lineare dei vettori.
La loro combinazione lineare è
$$ v = a_1 v_1 + a_2 v_2 $$ $$ v = a_1 (1,0) + a_2 (0,1) $$ $$ v = (a_1,0) + (0,a_2) $$ $$ v = (a_1,a_2) $$
Sotto forma di coordinate x,y diventa
$$ (x,y) = (a_1,a_2) $$
Il che equivale al sistema lineare
$$ \begin{cases} a_1=x \\ a_2=y \end{cases} $$
Il sistema lineare ha un'evidente soluzione. Per qualsiasi coordinata (x,y) del piano esistono due parametri scalari a1 e a2 che lo individuano.
Pertanto, i due vettori v1 e v2 sono linearmente indipendenti.
Si tratta di una base dello spazio vettoriale V.
Anche analizzando il sistema in forma matriciale, si nota subito che il rango della matrice è il massimo del sistema lineare.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Nella matrice il minore complementare con determinante non nullo è di ordine 2.
$$ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1+0 = 1 \ne 0 $$
Il rango eguaglia il numero delle colonne della matrice (2) ossia delle variabili incognite del sistema lineare.
Il che conferma l'indipendenza lineare dei vettori.
Esempio 2
Restando nello spazio vettoriale V=R2 nel campo K=R, provo ad analizzare un'altra coppia di vettori.
$$ v_1=(1,1) $$ $$v_2=(-1,1) $$
Per capire se sono una base, devo verificare l'indipendenza lineare dei vettori.
La loro combinazione lineare è
$$ v = a_1 v_1 + a_2 v_2 $$ $$ v = a_1 (1,1) + a_2 (-1,1) $$ $$ v = (a_1,a_1) + (-a_2,a_2) $$ $$ v = (a_1-a_2,a_1+a_2) $$
Sotto forma di coordinate x,y diventa
$$ (x,y) = (a_1-a_2,a_1+a_2) $$
Il che equivale al sistema lineare
$$ \begin{cases} a_1-a_2=x \\ a_1+a_2=y \end{cases} $$
Sotto forma matriciale il sistema ha rango uguale a due.
$$ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$
Il minore complementare con determinante diverso da zero è di ordine 2 ( rango =2 ).
$$ \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1+1 = 2 \ne 0 $$
Il rango è uguale al numero delle colonne della matrice.
Nota. L'indipendenza lineare dei vettori può essere verificata osservando il rango della matrice. Per un approfondimento clicca qui.
Pertanto, i vettori v1 e v2 sono linearmente indipendenti e il sistema ha almeno una soluzione.
Si tratta di una base dello spazio vettoriale.
Per verifica provo a risolvere il sistema di equazioni lineari con il metodo della sostituzione.
$$ \begin{cases} a_1-a_2=x \\ a_1+a_2=y \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_1-a_2=x \\ a_1=y-a_2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} (y-a_2)-a_2=x \\ a_1=y-a_2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_2=(y-x)/2 \\ a_1=y-a_2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_2=(y-x)/2 \\ a_1=y-(y-x)/2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_2=(y-x)/2 \\ a_1=-x/2 \end{cases} $$
Il sistema ha una soluzione per qualsiasi coordinata (x,y) del piano.
L'indipendenza lineare dei vettori v1 e v2 è confermata.
Quante basi esistono in uno spazio vettoriale
Non c'è una sola base dello spazio vettoriale.
Ogni spazio vettoriale reale contiene infinite basi.
Se in uno spazio vettoriale esistono diverse basi, ogni vettore dello spazio vettoriale può essere rappresentato in modo diverso a seconda della base che si sceglie.
Il caso dello spazio vettoriale banale.
Fa eccezione alla regola soltanto lo spazio vettoriale banale {0v}
Lo spazio vettoriale banale {0v} non ha una base
Dimostrazione
Lo spazio vettoriale banale è privo di basi perché contiene soltanto un vettore nullo.
Un vettore nullo è sempre linearmente dipendente.
Nota. Un vettore per essere linearmente indipendente è uguale al vettore nullo solo quando i coefficienti della combinazione lineare sono tutti nulli. $$ \vec{v} = k_1 \vec{v_1} + ... + k_n \vec{v_n} = \vec{0} $$ Nel caso del vettore nullo, però, posso ottenere il vettore nullo anche ponendo uno qualsiasi dei coefficienti diverso da zero. Ad esempio k1≠0 e tutti gli altri k2,...kn=0. $$ \vec{0} = k_1 \vec{v_1} = \vec{0} $$ Quindi, il vettore nullo non potrà mai essere linearmente indipendente. Pertanto, è sempre linearmente dipendente.
Quindi, lo spazio vettoriale banale non ha vettori linearmente indipendenti al suo interno e non può avere basi.
La base canonica
Una base è detta canonica quando ogni vettore vi ha tutti gli elementi a zero a parte l'i-esimo elemento.
In ogni spazio vettoriale Kn esiste sempre una base canonica.
Esempio
In uno spazio vettoriale R4 nel campo R ho quattro vettori.
$$ v_1 = (1,0,0,0) $$ $$ v_2 = (0,1,0,0) $$ $$ v_3 = (0,0,1,0) $$ $$ v_4 = (0,0,0,1) $$
Si tratta di una matrice identità perché la diagonale è composta da 1 mentre gli altri elementi sono 0.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
E' immediatamente evidente che i vettori sono linearmente indipendenti perché il rango della matrice è 4 ed eguaglia il numero delle colonne.
La combinazione lineare dei vettori è la seguente
$$ v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 + a_4 v_4 $$ $$ v = a_1 (1,0,0,0) + a_2 (0,1,0,0) + a_3 (0,0,1,0) + a_4 (0,0,0,1) $$ $$ v=(a_1,0,0,0)+(0,a_2,0,0)+(0,0,a_3,0)+(0,0,0,a_4) $$ $$ v=(a_1,a_2,a_3,a_4) $$
Quindi
$$ (x,y,z,w)=(a_1,a_2,a_3,a_4) $$
si può scrivere anche sotto forma di un sistema
$$ \begin{cases} a_1 = x \\ a_2=y \\ a_3=z \\ a_4 = w \end{cases} $$
E' una base perché il sistema ammette una sola soluzione.
I teoremi delle basi vettoriali
I principali teoremi della base di uno spazio vettoriale
Il teorema dell'unicità della rappresentazione vettoriale tramite una base
Ogni vettore v dello spazio vettoriale V è rappresentabile da una base vettoriale B tramite un'unica combinazione di numero scalari a1,...,an.
Il teorema della dipendenza lineare di ogni vettore rispetto alla base
Tutti i vettori di uno spazio vettoriale V sul campo campo sono linearmente dipendenti rispetto ai vettori della base vettoriale B.
Il teorema della dimensione della base
Se uno spazio vettoriale sul campo K ha una base B con un numero finito di elementi ( dimensione ), allora ogni altra base B' di V ha lo stesso numeri di elementi, ossia ha la stessa dimensione di B.
Corollario
Il numero di elementi di una base non dipende da quale base si sceglie ma dallo spazio vettoriale.
Il teorema del completamento della base
Se una base ha k<n elementi è una base incompleta e può sempre essere completata aggiungendo i n-k vettori linearmente indipendenti mancanti.
Altri teoremi sulle basi
- In uno spazio vettoriale V finitamente generato di dimensioni n, da qualsiasi insieme di generatori {v1,v2,..,vs} con s>n è sempre possibile ottenere una base B dello spazio vettoriale eliminando i vettori linearmente dipendenti dall'insieme di generatori (dimostrazione).
- In uno spazio vettoriale V finitamente generato di dimensioni n, da qualsiasi insieme di vettori linearmente indipendenti {v1,v2,..,vp} con p<n è sempre possibile ottenere una base B dello spazio vettoriale aggiungendo vettori linearmente indipendenti dall'insieme dei vettori (dimostrazione).
- In uno spazio vettoriale V di cui conosco già la dimensione dim(V)=n, se {v1,v2,..,vn} sono un insieme di generatori di V allora sono anche una base di V (dimostrazione)
- In uno spazio vettoriale V di cui conosco già la dimensione dim(V)=n, se {v1,v2,..,vn} sono un insieme di vettori linearmente indipendenti allora sono anche una base di V (dimostrazione)
