Dimostrazione teorema sulle basi dello spazio-vettoriale 3

In uno spazio vettoriale V di cui conosco già la dimensione dim(V)=n, se {v₁,v₂,..,v_n} sono un insieme di generatori di V allora sono anche una base di V

Dimostrazione

Questo teorema si basa sull'ipotesi che io già conosca la dimensione dello spazio vettoriale

$$ \dim(V)= n $$

Se lo spazio vettoriale V ha dimensione n, allora tutte le basi dello spazio vettoriale V sono composte da n vettori.

Nota. Per definizione una base è un insieme di generatori di V in cui tutti i vettori sono linearmente indipendenti.

In questo caso il teorema afferma che i vettori {v₁,v₂,..,v_n} sono un insieme di generatori di V.

Secondo un teorema già dimostrato, in un insieme di generatori {v₁,v₂,..,v_s} con un numero s>n maggiore di vettori rispetto alla base (dimensione dello spazio vettoriale), posso ottenere una base eliminando gli s-n vettori linearmente dipendenti.

In questo caso però l'insieme dei generatori è composto da s=n vettori.

Quindi, non possi eliminare alcun vettore.

Nota. Se eliminassi un vettore otterrei un insieme di n-1 vettori che non sarenne nemmeno più un insieme di generatori dello spazio vettoriale.

Pertanto, l'insieme dei generatori {v₁,v₂,..,v_s} è già una base dello spazio vettoriale.

E così via.