La dimensione della base vettoriale
La dimensione della base vettoriale è il numero dei vettori {v1,...,vn} linearmente indipendenti della base.
$$ dim_k(n) $$ $$con \:\: n \in Z >=0 $$
La dimensione n ( o cardinalità ) è un numero intero non negativo compreso fra zero e infinito.
Si indica con la notazione dimk(n) dove K è il campo dello spazio vettoriale e n indica la cardinalità.
Nota. Se il campo K è intuibile, posso anche ometterlo e indicare la dimensione soltanto con la notazione dim(n).
La dimensione di una base vettoriale può essere finita o infinita.
- Dimensione finita
La base ha una dimensione pari a un numero finito n, ossia è composta da n vettori.
$$ B = \{ v_1 , ... , v_n \} $$ - Dimensione infinita
La base ha una dimensione pari a infinito, ossia è composta da infiniti vettori.
$$ B = \{ v_1 , v_2 , ... \} $$
Esempi pratici
Esempio 1
La seguente base vettoriale è composta da due elementi, ossia due vettori v1 e v2, quindi ha dimensione 2.
$$ B = \{ v_1 , v_2 \} $$
Esempio 2
Questa base vettoriale è composta da tre vettori {v1,v2,v3}.
Quindi, la base ha dimensione 3.
$$ B = \{ v_1 , v_2, v_3 \} $$
Esempio 3
Questa insieme di vettori è uno spazio banale {0v}.
E' composta soltanto dal vettore nullo e non è una base. Quindi, ha dimensione 0.
$$ B = \{ 0_v \} $$
La dimensione zero e lo spazio banale
La dimensione zero ( o nulla ) è un caso particolare della dimensione finita.
In uno spazio vettoriale soltanto lo spazio banale ha dimensione zero perché è composto solo dal vettore nullo 0v.
$$ \{ 0_v \} $$
Il vettore nullo 0v è linearmente dipendente.
Nota. Un vettore è linearmente indipendente se è possibile ottenere un vettore nullo solo ponendo a zero tutti i coefficienti k1,k2,...,kn=0 della combinazione lineare. $$ \vec{v} = k_1 \cdot \vec{v}_1 + k_2 \cdot \vec{v}_2 + ... + k_n \cdot \vec{v}_n $$ Nel caso del vettore nullo, però, anche ponendo uno qualsiasi dei coefficienti diverso da zero kn≠0 ottengo il vettore nullo. Quindi, il vettore nullo non risponde alla definizione di vettore linearmente indipendente. E' sempre linearmente dipendente.
Pertanto, lo spazio banale non può essere una base vettoriale.
Lo spazio banale è l'unico spazio vettoriale ad avere dimensione nulla.
E così via
