Teorema della dipendenza lineare di ogni vettore rispetto alla base
La definizione
Dato uno spazio vettoriale V sul campo K e una base B={v1,...,vn} , ogni vettore v di V è linearmente dipendente dai vettori della base B.
Dimostrazione
Se B è una base dello spazio vettoriale V e v è un vettore di V, allora esistono degli scalari tali che
$$ v = a_1 v_1 + ... + a_n v_n $$
Il che equivale a dire
$$ v - a_1 v_1 - ... - a_n v_n = 0 $$
E' quindi possibile ottenere il vettore nullo { 0v }
Essendo il coefficiente scalare che moltiplica v uguale a 1, la combinazione lineare non è banale.
$$ (1) v - a_1 v_1 - ... - a_n v_n = 0 $$
Pertanto, l'insieme dei vettori { v, v1, ... , vn } è composto da vettori linearmente dipendenti.
Posso concludere affermando che
Se si aggiunge un vettore a una base vettoriale, si ottiene sempre un insieme di vettori linearmente dipendenti.
