Dimostrazione teorema sulle basi dello spazio vettoriale 1
In uno spazio vettoriale V finitamente generato di dimensioni n, da qualsiasi insieme di generatori {v1,v2,..,vp} è sempre possibile ottenere una base B dello spazio vettoriale cancellando alcuni vettori dall'insieme.
Dimostrazione
Considero uno spazio vettoriale V di dimensioni n
$$ \dim V = n $$
Avendo una dimensione n, tutte le basi dello spazio vettoriali sono composte da n vettori.
Considero un insieme di generatori composto da p vettori
$$ \{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , ... , \vec{v}_p \} $$
Essendo un insieme di generatori è composto da un numero di vettori (p) maggiore o uguale al numero dei vettori (n) della base
$$ p \ge n $$
A questo punto verifico se l'insieme di generatori {v1,v2,..,vp} è una base dello spazio vettoriale V.
Per farlo verifico se i vettori {v1,v2,..,vp} sono linearmente indipendenti
- Se i vettori {v1,v2,..,vp} sono linearmente indipendenti l'insieme di generatori è anche una base dello spazio vettoriale V. Sapendo che tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori, deduco che p=n. La dimostrazione termina qui.
- Se i vettori {v1,v2,..,vp} non sono linearmente indipendenti almeno un vettore dell'insieme è linearmente dipendente dagli altri.
Sposto il vettore linearmente dipendente nell'ultima posizione della combinazione lineare (p).
Poi scrivo il vettore linearmente dipendente vp come combinazione lineare degli altri vettori {v1,v2,..,vp-1}
$$ v_p = \alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 + ... + \alpha_1 \vec{v}_{p-1} $$
Essendo {v1,v2,..,vp} un insieme di generatori di V, ogni vettore dello spazio vettoriale è generato dalla combinazione lineare dei vettori {v1,v2,..,vp}
$$ \forall \vec{v} \in V \ \ \ \vec{v} = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + ... + \lambda_n \vec{v}_{p-1} + \lambda_n \vec{v}_p $$
Sostituisco vp alla combinazione lineare iniziale che genera ogni vettore v dello spazio vettoriale V.
$$ \forall \vec{v} \in V \ \ \ \vec{v} = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + ... + \lambda_n \vec{v}_{p-1} + \lambda_n ( \alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 + ... + \alpha_1 \vec{v}_{p-1} ) $$
Ora l'insieme dei generatori è composto da p-1 vettori
$$ \{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , ... , \vec{v}_{p-1} \} $$
I vettori {v1,v2,..,vp-1} sono ancora un insieme di generatori perché ho sostituito uno dei vettori (vp) con la sua combinazione lineare.
A questo punto verifico se gli p-1 vettori {v1,v2,..,vp-1} sono anche linearmente indipendenti.
- Se i vettori {v1,v2,..,vp-1} sono linearmente indipendenti allora l'insieme dei generatore è anche un base. Sapendo che tutte le basi hanno la stessa dimensione, deduco che p-1=n
- Se i vettori {v1,v2,..,vp-1} non sono linearmente indipendenti allora c'è almeno un vettore linearmente dipendente dagli altri. Lo seleziono e ripeto daccapo lo stesso procedimento.
Il processo termina quando l'insieme di generatori è composto da n vettori {v1,v2,..,vn} linearmente indipendenti poiché tutte le basi dello spazio vettoriale V hanno lo stesso numero n=dim(V) di vettori.
E così via.
