Il teorema della dimensione di una base vettoriale

La definizione

In uno spazio vettoriale V sul campo K, se esiste una base B di V con un numero finito n di elementi ( dimensione ), allora ogni altra base B' di V ha lo stesso numero di elementi.

Dimostrazione

In uno spazio vettoriale V ho una base B di n elementi.

$$B={v_1,...,v_n}$$

Per ipotesi assurda c'è anche un'altra base B' con m elementi, in cui m>n, ossia con più elementi rispetto alla precedente B.

$$B' = \{ v_1 ,..., v_n , v_{n+1} ,..., v_m \}$$ $$con \:\: m>n$$

Secondo il teorema del completamento della base, posso aggiungere a B gli altri m-n vettori di B'.

$${v_{n+1},...,v_m}$$

Tuttavia, si verifica una contraddizione.

Se B è una base dello spazio vettoriale con n elementi ( dimensione ), allora è già un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti.

Secondo il teorema della dipendenza lineare dei vettori rispetto alla base, qualsiasi vettore aggiunto a B deve necessariamente essere un vettore linearmente dipendente dai precedenti.

Pertanto, se B è una base, allora B' non può essere una base dello spazio vettoriale V perché ha al suo interno m-n vettori linearmente dipendenti.

Il che viola una dei requisiti fondamentali delle basi vettoriali.

In conclusione, l'unica soluzione possibile per evitare la contraddizione è la seguente:

$$m=n$$

Due basi di V devono avere lo stesso numero di elementi, ossia la stessa dimensione, perché se esiste una base con n elementi, allora non può esistere anche una base con m elementi (con m>n).

Nota. Si può dimostrare anche il caso opposto. Se c'è una base con n elementi allora non può esistere una base con k<n elementi perché sarebbe una base incompleta. Quindi, andrebbe completata aggiungengo gli n-k vettori linearmente indipendenti mancanti.

Dimostrazione alternativa

Considero due basi dello spazio vettoriale V

Per ipotesi iniziale

• La prima base è un insieme di generatori composta da n vettori $$\{ v_1, v_2, ... , v_n \}$$
• La seconda base è un insieme di vettori linearmente indipendenti $$\{ w_1, w_2, ... ,w_p \}$$

In base al teorema sull'indipendenza lineare, un insieme di vettori linearmente indipendenti dello spazio vettoriale V ha sempre una cardinalità minore o uguale a qualsiasi insieme di generatori di V.

Quindi, la base con i vettori linearmente indipendenti {w₁,w₂,...,w_p} è composta da un numero minore o uguale di vettori rispetto a qualsiasi insieme di generatori di V tra i quali c'è anche {v₁,v₂,...,v_n}

$$p \le n$$

Inoltre, per l'ipotesi iniziale {v₁,v₂,...,v_n} è una base oltre a essere un insieme di generatori.

Pertanto anche {v₁,v₂,...,v_n} ha un numero di vettori minore o uguale a qualsiasi altro insieme di generatori di V.

Poiché {w₁,w₂,...,w_p} è una base di V, allora è anche un insieme di generatori di V.

Quindi, {v₁,v₂,...,v_n} ha un numero di vettori minore o uguale anche rispetto a {w₁,w₂,...,w_p}

$$n \le p$$

Unendo queste due condizioni deduco che n è uguale a p

$$\begin{cases} p \le n \\ \\ n \le p \end{cases} \Longleftrightarrow n = p$$

Le due basi {v₁,v₂,...,v_n} e {w₁,w₂,...,w_p} hanno lo stesso numero di vettori n=p ossia hanno la stessa dimensione.

Corollari

Dal teorema della dimensione posso dedurre altri corollari.

Corollario 1

Se lo spazio vettoriale V ha dimensione n, per ottenere una base B dello spazio vettoriale è sufficiente trovare n vettori linearmente indipendenti v∈V.

Corollario 2

Se lo spazio vettoriale V ha una dimensione finita n sul campo K, allora un sottospazio vettoriale W di V ha dimensione n se e solo se W=V.

$$dim(W) = dim(V) \:\: se \: W = V$$ $$dim(W) < dim(V) \:\: se \: W \ne V$$

Dimostrazione

Dato un sottospazio W dello spazio vettoriale V si ha

$$W ⊆ V$$

$$dim_k(W) = m$$

$$dim_k(V) = n$$

La cardinalità del sottospazio W deve essere necessariamente m≤n in caso contrario con i vettori non sarebbero tutti linearmente indipendenti secondo il teorema della dipendenza dei vettori rispetto alla base.

Se dim_k(W) = dim_k(V) allora il sottospazio W ha una base composta da m=n vettori linearmente indipendenti.

$$B_w = \{ v_1 , ... , v_n \}$$

Essendo W ⊆ V, il sottospazio W è incluso nello spazio vettoriale V.

Pertanto tutti i vettori {v₁,...,v_n} della base B_w appartengono a V.

$$B_W \in V$$ $$\{ v_1 , ... , v_n \} \in V$$

Ne consegue che B_w è anche una base B dello spazio vettoriale W.

Poiché una base vettoriale è in grado di rappresentare tutti i vettori di uno spazio vettoriale, la base B_w può rappresentare sia i vettori del sottospazio W che quelli dello spazio vettoriale V.

Ciò è possibile soltanto se W = V.

$$W = V$$

In conclusione, un sottospazio W ha la stessa dimensione m=n dello spazio vettoriale V a cui appartiene (W ⊆ V), se e solo se W=V.

Corollario 3 ( codimensione )

Sia uno spazio vettoriale V sul campo K di dimensione n e un sottospazio W ⊆ V di dimensione m, si dice codimensione è la differenza tra la dimensione dello spazio vettoriale V e la dimensione del sottospazio vettoriale W. $$codim_k(W) = dim_k(V) - dim_k(W) = n-m$$

Corollario 4 ( teorema di Grassman )

Sia uno spazio vettoriale V sul campo K di dimensione finita pari a n, dati due sottospazi A e B, la dimensione dell'insieme somma dim(A+B) non è uguale alla somma delle dimensioni dei sottospazi dim(A)+dim(B). $$dim_k(A+B) = dim_k(A)+dim_k(B)-dim_k(A⋂B)$$

Fatta eccezione se A e B sono in somma diretta.

Corollario 5

Il numero di elementi di una base dipende solo dallo spazio vettoriale. Non dipende da quale base scelgo.

E così via.