Il teorema della dimensione di una base vettoriale
La definizione
In uno spazio vettoriale V sul campo K, se esiste una base B di V con un numero finito n di elementi ( dimensione ), allora ogni altra base B' di V ha lo stesso numero di elementi.
Dimostrazione
In uno spazio vettoriale V ho una base B di n elementi.
$$ B={v_1,...,v_n} $$
Per ipotesi assurda c'è anche un'altra base B' con m elementi, in cui m>n, ossia con più elementi rispetto alla precedente B.
$$ B' = \{ v_1 ,..., v_n , v_{n+1} ,..., v_m \} $$ $$ con \:\: m>n $$
Secondo il teorema del completamento della base, posso aggiungere a B gli altri m-n vettori di B'.
$$ {v_{n+1},...,v_m} $$
Tuttavia, si verifica una contraddizione.
Se B è una base dello spazio vettoriale con n elementi ( dimensione ), allora è già un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti.
Secondo il teorema della dipendenza lineare dei vettori rispetto alla base, qualsiasi vettore aggiunto a B deve necessariamente essere un vettore linearmente dipendente dai precedenti.
Pertanto, se B è una base, allora B' non può essere una base dello spazio vettoriale V perché ha al suo interno m-n vettori linearmente dipendenti.
Il che viola una dei requisiti fondamentali delle basi vettoriali.
In conclusione, l'unica soluzione possibile per evitare la contraddizione è la seguente:
$$ m=n $$
Due basi di V devono avere lo stesso numero di elementi, ossia la stessa dimensione, perché se esiste una base con n elementi, allora non può esistere anche una base con m elementi (con m>n).
Nota. Si può dimostrare anche il caso opposto. Se c'è una base con n elementi allora non può esistere una base con k<n elementi perché sarebbe una base incompleta. Quindi, andrebbe completata aggiungengo gli n-k vettori linearmente indipendenti mancanti.
Dimostrazione alternativa
Considero due basi dello spazio vettoriale V
Per ipotesi iniziale
- La prima base è un insieme di generatori composta da n vettori $$ \{ v_1, v_2, ... , v_n \} $$
- La seconda base è un insieme di vettori linearmente indipendenti $$ \{ w_1, w_2, ... ,w_p \} $$
In base al teorema sull'indipendenza lineare, un insieme di vettori linearmente indipendenti dello spazio vettoriale V ha sempre una cardinalità minore o uguale a qualsiasi insieme di generatori di V.
Quindi, la base con i vettori linearmente indipendenti {w1,w2,...,wp} è composta da un numero minore o uguale di vettori rispetto a qualsiasi insieme di generatori di V tra i quali c'è anche {v1,v2,...,vn}
$$ p \le n $$
Inoltre, per l'ipotesi iniziale {v1,v2,...,vn} è una base oltre a essere un insieme di generatori.
Pertanto anche {v1,v2,...,vn} ha un numero di vettori minore o uguale a qualsiasi altro insieme di generatori di V.
Poiché {w1,w2,...,wp} è una base di V, allora è anche un insieme di generatori di V.
Quindi, {v1,v2,...,vn} ha un numero di vettori minore o uguale anche rispetto a {w1,w2,...,wp}
$$ n \le p $$
Unendo queste due condizioni deduco che n è uguale a p
$$ \begin{cases} p \le n \\ \\ n \le p \end{cases} \Longleftrightarrow n = p $$
Le due basi {v1,v2,...,vn} e {w1,w2,...,wp} hanno lo stesso numero di vettori n=p ossia hanno la stessa dimensione.
Corollari
Dal teorema della dimensione posso dedurre altri corollari.
Corollario 1
Se lo spazio vettoriale V ha dimensione n, per ottenere una base B dello spazio vettoriale è sufficiente trovare n vettori linearmente indipendenti v∈V.
Corollario 2
Se lo spazio vettoriale V ha una dimensione finita n sul campo K, allora un sottospazio vettoriale W di V ha dimensione n se e solo se W=V.
$$ dim(W) = dim(V) \:\: se \: W = V $$ $$ dim(W) < dim(V) \:\: se \: W \ne V $$
Dimostrazione
Dato un sottospazio W dello spazio vettoriale V si ha
$$ W ⊆ V $$
$$ dim_k(W) = m $$
$$ dim_k(V) = n $$
La cardinalità del sottospazio W deve essere necessariamente m≤n in caso contrario con i vettori non sarebbero tutti linearmente indipendenti secondo il teorema della dipendenza dei vettori rispetto alla base.
Se dimk(W) = dimk(V) allora il sottospazio W ha una base composta da m=n vettori linearmente indipendenti.
$$ B_w = \{ v_1 , ... , v_n \} $$
Essendo W ⊆ V, il sottospazio W è incluso nello spazio vettoriale V.
Pertanto tutti i vettori {v1,...,vn} della base Bw appartengono a V.
$$ B_W \in V $$ $$ \{ v_1 , ... , v_n \} \in V $$
Ne consegue che Bw è anche una base B dello spazio vettoriale W.
Poiché una base vettoriale è in grado di rappresentare tutti i vettori di uno spazio vettoriale, la base Bw può rappresentare sia i vettori del sottospazio W che quelli dello spazio vettoriale V.
Ciò è possibile soltanto se W = V.
$$ W = V $$
In conclusione, un sottospazio W ha la stessa dimensione m=n dello spazio vettoriale V a cui appartiene (W ⊆ V), se e solo se W=V.
Corollario 3 ( codimensione )
Sia uno spazio vettoriale V sul campo K di dimensione n e un sottospazio W ⊆ V di dimensione m, si dice codimensione è la differenza tra la dimensione dello spazio vettoriale V e la dimensione del sottospazio vettoriale W. $$ codim_k(W) = dim_k(V) - dim_k(W) = n-m $$
Corollario 4 ( teorema di Grassman )
Sia uno spazio vettoriale V sul campo K di dimensione finita pari a n, dati due sottospazi A e B, la dimensione dell'insieme somma dim(A+B) non è uguale alla somma delle dimensioni dei sottospazi dim(A)+dim(B). $$ dim_k(A+B) = dim_k(A)+dim_k(B)-dim_k(A⋂B) $$
Fatta eccezione se A e B sono in somma diretta.
Corollario 5
Il numero di elementi di una base dipende solo dallo spazio vettoriale. Non dipende da quale base scelgo.
E così via.
