Teorema di unicità della rappresentazione vettoriale in una base
Ogni vettore dello spazio vettoriale è rappresentato da una base vettoriale B tramite un'unica combinazione lineare di scalari.
La definizione
Sia B={v1,v2,...,vn) una base dello spazio vettoriale V sul campo K, allora ogni vettore v di V si può scrivere tramite un'unica combinazione lineare $$ v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n $$ con un numero finito di coefficienti α1,...αn ∈ K
Dimostrazione
Considero un generico vettore v dello spazio vettoriale V
$$ \vec{v} \in V $$
La base dello spazio vettoriale è composta da n vettori {v1,v2,...,vn)
$$ B = \{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , ... , \vec{v}_n \} $$
Quindi, posso scrivere il vettore v come combinazione lineare degli n vettori della base
$$ \vec{v} = \alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 +... + \alpha_n \vec{v}_n $$
Per assurdo ipotizzo che il vettore si possa scrivere anche con un'altra combinazione lineare dei vettori {v1,v2,...,vn)
$$ \vec{v} = \beta_1 \vec{v}_1 + \beta_2 \vec{v}_2 +... + \beta_n \vec{v}_n $$
Essendo lo stesso vettore, le due combinazioni lineari sono uguali tra loro
$$ \vec{v} = \vec{v} $$
$$ \alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 +... + \alpha_n \vec{v}_n = \beta_1 \vec{v}_1 + \beta_2 \vec{v}_2 +... + \beta_n \vec{v}_n $$
Sposto tutti i termini al primo membro dell'equazione
$$ \alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 +... + \alpha_n \vec{v}_n - \beta_1 \vec{v}_1 - \beta_2 \vec{v}_2 ... - \beta_n \vec{v}_n = 0 $$
Poi raccolgo a fattore comune
$$ ( \alpha_1 - \beta_1 ) \cdot \vec{v}_1 + ( \alpha_2 - \beta_2 ) \cdot \vec{v}_2 +... + ( \alpha_n - \beta_n ) \cdot \vec{v}_n = 0 $$
Essendo l'insieme dei vettori {v1,v2,...,vn) una base dello spazio vettoriale, per la definizione di base i vettori sono linearmente indipendenti.
Quando i vettori sono linearmente indipendenti la loro combinazione lineare è nulla soltanto nel caso banale, ossia quando tutti i coefficienti sono nulli.
$$ \underbrace{ ( \alpha_1 - \beta_1 ) }_0 \cdot \vec{v}_1 + \underbrace{ ( \alpha_2 - \beta_2 ) }_0 \cdot \vec{v}_2 +... + \underbrace{( \alpha_n - \beta_n ) }_0 \cdot \vec{v}_n = 0 $$
Pertanto, le differenze dei coefficienti sono nulle
$$ \alpha_1 - \beta_1 = 0 \\ \alpha_2 - \beta_2 = 0 \\ \vdots \\ \alpha_n - \beta_n = 0 $$
Ne consegue che i coefficienti sono uguali
$$ \alpha_1 = \beta_1 \\ \alpha_2 = \beta_2 \\ \vdots \\ \alpha_n = \beta_n $$
Le due combinazioni lineari sono la stessa combinazione lineare.
Questo dimostra che la combinazione lineare che genera un vettore tramite una base dello spazio vettoriale è unica.
Dimostrazione alternativa
Una base è un generatore di vettori minimale.
Pertanto, qualsiasi vettore dello spazio vettoriale è rappresentabile da una combinazione lineare degli n vettori della base con n scalari.
$$ v = a_1 v_1 + ... + a_n v_n $$
Devo dimostrare che la rappresentazione di un vettore tramite la base è l'unica possibile.
Secondo il teorema, ogni vettore dello spazio ammette un'unica rappresentazione in coordinate rispetto alla base, ossia esiste un'unica n-pla di scalari a1,...,an tale che v=a1v1+...+anvn.
Per dimostrarlo, analizzo l'ipotesi contraria.
Se due combinazioni lineari distinte ( v e w ) determinassero lo stesso vettore (v) dello spazio vettoriale
$$ v = a_1 v_1 +...+ a_n v_n $$ $$ v = b_1 w_1 +...+ b_m w_m $$
avrei la seguente equazione
$$ a_1 v_1 +...+ a_n v_n = b_1 w_1 +...+ b_m w_m $$
$$ a_1 v_1 +...+ a_n v_n - b_1 w_1 - ... - b_m w_m = 0 $$
Prendo il valore minore tra n e m, ossia tra il numero degli elementi minore delle due combinazioni lineari
$$ k = min(n,m) $$
Ora ipotizzo che fino al k-esimo elemento i vettori v e w sono uguali, mentre dal k+1-esimo in poi sono diversi.
$$ v_1 = w_1 ... v_k = w_k $$
$$ v_{k+1} \ne w_{k+1} ... v_n \ne w_m $$
Quindi posso riscrivere l'equazione nel seguente modo:
$$ v_1 ( a_1 - b_1 ) +...+ v_k ( a_k - b_k ) +...+ a_{k+1} v_{k+1} - b_{k+1} w_{k+1} +...+ a_n v_n - b_m w_n = 0 $$
L'equazione è uguale a zero solo se
$$ a_1=b_1 ... a_k=b_k $$
$$ a_{k+1}=0 ... a_n=0 $$
$$ b_{k+1}=0 ... b_n=0 $$
Fino al k-esimo elemento i vettori v e w hanno gli stessi elementi, quindi l'unico modo per annullare la somma si ottiene quando gli scalari a e b sono uguali (a1=b1 ... ak=bk).
$$ v_1 ( 0 ) +...+ v_k ( 0 ) +...+ a_{k+1} v_{k+1} - b_{k+1} w_{k+1} +...+ a_n v_n - b_m w_n = 0 $$
Dal k+1-esimo elemento in poi i vettori v e w sono diversi (v≠w). Essendo linearmente indipendenti, l'unico modo per annullare la somma si ottiene ponendo gli scalari a e b uguali a zero (ak+1=0,...,an=0 e bk+1=0,...,bm=0 ).
$$ v_1 ( 0 ) +...+ v_k ( 0 ) +...+ 0 v_{k+1} - 0 w_{k+1} +...+ 0 v_n - 0 w_n = 0 $$
Soltanto in questo modo l'equazione è uguale a zero ed è vera.
Si tratta, però, di una combinazione lineare banale.
Quindi, per rappresentare il vettore v tramite la base B devo necessariamente usare un'unica combinazione di k scalari.
$$ a_1 = b_1 , ..., a_k = b_k $$
Questi coefficienti sono detti coordinate o pesi del vettore rispetto alla base.
In conclusione, se i vettori della base sono linearmente indipendenti, esiste un'unica n-pla di scalari nella rappresentazione di ogni vettore dello spazio vettoriale.
