Dimostrazione teorema sulle basi dello spazio vettoriale 4

In uno spazio vettoriale V di cui conosco già la dimensione dim(V)=n, se {v1,v2,..,vn} sono un insieme di vettori linearmente indipendenti allora sono anche una base di V

Dimostrazione

Questo teorema si basa sull'ipotesi che io già conosca la dimensione dello spazio vettoriale

$$ \dim(V)= n $$

Se lo spazio vettoriale V ha dimensione n, allora tutte le basi dello spazio vettoriale V sono composte da n vettori.

Nota. Per definizione una base è un insieme di generatori di V in cui tutti i vettori sono linearmente indipendenti.

In questo caso il teorema afferma che i vettori {v1,v2,..,vn} sono un insieme di vettori linearmente indipendenti.

Resta da sapere se sono anche un insieme di generatori di V.

Secondo un teorema già dimostrato in un insieme di vettori linearmente indipendenti {v1,v2,..,vp} con un numero p<n minore di vettori rispetto alla base (dimensione dello spazio vettoriale), posso ottenere una base aggiungendo n-p vettori linearmente indipendenti.

In questo caso però l'insieme dei vettori linearmente indipendenti è composto da p=n vettori.

Quindi, non posso aggiungere un altro vettore.

Nota. Se aggiungessi un vettore all'insieme otterrei un insieme di generatori con n+1 vettori {v1,v2,..,vn+1} con un un vettore linearmente dipendente dagli altri. Inoltre avrebbe n+1 vettori e non potrebbe essere un base.

Pertanto, l'insieme dei vettori linearmente indipendenti {v1,v2,..,vn} è già una base dello spazio vettoriale.

E così via.

 


 

Segnalami un errore, un refuso o un suggerimento per migliorare gli appunti

FacebookTwitterLinkedinLinkedin
knowledge base

Le basi vettoriali