Le coordinate (o pesi) del vettore
Le coordinate ( o pesi ) del vettore v rispetto a una base B sono i coefficienti scalari a1,...,an della combinazione lineare che determinano univocamente il vettore nello spazio vettoriale.
La definizione
Data una base B con un numero finito di elementi dello spazio vettoriale V nel campo K, per ogni vettore di v esiste un'unica combinazione di coefficienti scalari a1,...,an ( detti coordinate o pesi ) tale che v=a1 v1 + ... + an vn..
Gli scalari a1,...,an sono detti coordinate soltanto quando un vettore è determinato da un'unica combinazione lineare.
Pertanto, una volta scelta una base, qualsiasi vettore è determinato da una combinazione lineare univoca di numeri scalari ( coordinate ).
v=a1 v1 + ... + an vn
Esempi ed esercizi sulle coordinate dei vettori
Esempio 1
Dato uno spazio vettoriale V=R2 nel campo R, per rappresentare ogni vettore posso usare la base canonica.
$$ v_1=(1,0) $$ $$ v_2=(0,1) $$
Quindi
$$ B = \{ v_1=(1,0) $$ $$ v_2=(0,1) \} $$
Voglio rappresentare un vettore qualsiasi dello spazio vettoriale. Ad esempio, il vettore v = ( 4, 2 ).
La combinazione lineare del vettore è la seguente:
$$ (x,y) = a_1 v_1 + a_2 v_2 $$
$$ (4,2) = a_1 (1,0) + a_2 (0,1) $$
$$ (4,2) = (a_1,0) + (0,a_2) $$
$$ (4,2) = (a_1,a_2) $$
ossia
$$ \begin{cases} a_1 = 4 \\ a_2 = 2 \end{cases} $$
Le coordinate del vettore v = (4,2) tramite la base canonica sono a1=4 e a2=2.
Verifica
$$ (x,y) = a_1 v_1 + a_2 v_2 $$
$$ (4,2) = a_1 (1,0) + a_2 (0,1) $$
$$ (4,2) = 4 (1,0) + 2 (0,1) $$
$$ (4,2) = (4,0) + (0,2) $$
$$ (4,2) = (4+0,0+2) = (4,2) $$
Nota. Queste coordinate sono uniche. Pertanto il vettore v può essere rappresentato tramite la base B soltanto utilizzando i coefficienti a1=4 e a2=2.
Esempio 2
Ora provo a rappresentare lo stesso vettore v=(4,2) tramite una base diversa B2 dello spazio vettoriale V.
$$ B_2 = \{ v_1=(1,1) $$ $$ v_2=(2,1) \} $$
La combinazione lineare del vettore v=(4,2) con la base B2 è la seguente:
$$ (x,y) = a_1 v_1 + a_2 v_2 $$
$$ (4,2) = a_1 (1,1) + a_2 (2,1) $$
$$ (4,2) = (a_1,a_1) + (2a_2,a_2) $$
$$ (4,2) = (a_1 + 2a_2,a_1 + a_2) $$
ossia
$$ \begin{cases} a_1 + 2a_2 = 4 \\ a_1 + a_2 = 2 \end{cases} $$
Per trovare le coordinate del vettore devo risolvere il sistema.
$$ \begin{cases} a_1 + 2a_2 = 4 \\ a_1 = 2 - a_2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} (2 - a_2) + 2a_2 = 4 \\ a_1 = 2 - a_2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_2 = 4-2 = 2 \\ a_1 = 2 - a_2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_2 = 2 \\ a_1 = 2 - (2) = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_2 = 2 \\ a_1 = 0 \end{cases} $$
Le coordinate del vettore v = (4,2) tramite la base B2 sono a1=0 e a2=2.
Verifica
$$ (x,y) = a_1 v_1 + a_2 v_2 $$
$$ (4,2) = a_1 (1,1) + a_2 (2,1) $$
$$ (4,2) = 0 (1,1) + 2 (2,1) $$
$$ (4,2) = (0,0) + (4,2) $$
$$ (4,2) = (0+4,0+2) = (4,2) $$
Nota. Queste coordinate sono uniche. Quiindi, il vettore v è rappresentabile tramite la base B2 soltanto usando i coefficienti a1=0 e a2=2.
In conclusione, per rappresentare lo stesso vettore v=(4,2) con la base B2 si usano dei coefficienti scalari ( coordinate ) diversi da quelli della base canonica o di qualsiasi altra base dello spazio vettoriale.
E così via.
