Dimostrazione teorema sulle basi dello spazio vettoriale 2
In uno spazio vettoriale V finitamente generato di dimensioni n, da qualsiasi insieme di vettori linearmente indipendenti {v1,v2,..,vp} con p≤n è sempre possibile ottenere una base B dello spazio vettoriale aggiungendo vettori linearmente indipendenti dall'insieme dei vettori (dimostrazione).
Dimostrazione
Considero uno spazio vettoriale V di dimensioni finite n
$$ \dim V = n$$
Avendo dimensioni n, lo spazio vettoriale ha le basi composte da n vettori
$$ B = \{ \vec{v}_1. \vec{v}_2, ... , \vec{v}_n \} $$
Prendo in considerazione un insieme composto da p vettori linearmente indipendenti di V
$$ \{ \vec{v}_1. \vec{v}_2, ... , \vec{v}_p \} $$
Dove p è un numero intero minore uguale a n
$$ p \le n $$
A questo punto verifico se {v1,v2,...,vp} è un insieme di generatori di V.
- Se l'insieme di vettori {v1,v2,...,vp} è un insieme di generatori dello spazio vettoriale V allora è anche una base. La dimostrazione finisce qui.
- Se l'insieme di vettori {v1,v2,...,vp} non è un insieme di generatori dello spazio vettoriale V allora esiste qualche vettore vp+1 che non è combinazione lineare di {v1,v2,...,vp}. Una volta trovato lo aggiungo all'insieme di vettori $$ \{ \vec{v}_1. \vec{v}_2, ... , \vec{v}_p , \vec{v}_{p+1} \} $$ Sapendo che i vettori {v1,v2,...,vp} sono linearmente indipendenti per l'ipotesi iniziale e anche vp-1 è linearmente indipendente da {v1,v2,...,vp}, allora anche l'insieme di vettori {v1,v2,...,vp,vp+1} è un insieme di vettori linearmente indipendenti. Quindi, ripeto il procedimento e verifico se l'insieme {v1,v2,...,vp,vp+1} è un insieme di generatori.
Il procedimento si ripete aggiungendo altri vettori linearmente indipendenti finché il numero p+k dei vettori {v1,v2,...,vp,vp+1, ..., vp+k} è uguale alla dimensione n dello spazio vettoriale
$$ p+k = n $$
Quando p+k è uguale a n l'insieme di vettori linearmente indipendenti è una base di V perché tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno tutte la stessa dimensione (cardinalità) ossia un uguale numero di vettori.
E così via.
