Lo scarto quadratico medio
Lo scarto quadratico medio (o deviazione standard) è la radice quadrata della varianza. $$ \sigma = \sqrt{ \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n (x_i- \mu)^2 } $$ Dove μ è la media, xi sono gli elementi della distribuzione e n è il numero di elementi della distribuzione.
Nel caso delle distribuzioni di frequenza la formula per calcolare lo scarto quadratico medio è
$$ \sigma = \sqrt{ \frac{1}{ \sum_{i=1}^k n_i} \cdot \sum_{i=1}^k (x_i- \mu)^2 \cdot n_i } $$
Dove ni sono le frequenze mentre gli scarti (xi-μ)2 di ogni valore rispetto alla media sono detti scarti quadratici.
A cosa serve?
La deviazione standard (Std) è una misura di quanto i dati si distribuiscono intorno alla media.
E' molto più sensibile alle piccole variazioni dei dati intorno alla media rispetto allo scarto semplice medio.
Nota. Generalmente circa 2/3 degli elementi di una distribuzione sono compresi nell'intervallo (m-σ,m+σ). Quasi tutti gli elementi della distribuzione sono compresi nell'intervallo(μ-3σ,μ+3σ).
Un esempio pratico
Esempio 1
Questa distribuzione è composta da n=6 elementi.
$$ 1 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 3 \ , \ 6 \ , \ 8 $$
Calcolo la media aritmetica della distribuzione. E' uguale a μ=5
$$ \mu = \frac{1+5+7+3+6+8}{6 } = \frac{30}{6 } = 5 $$
Ora calcolo la varianza della distribuzione sapendo che n=6 e μ=5
$$ \sigma^2 = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n (x_i - \mu )^2 $$
$$ \sigma^2 = \frac{1}{6} \cdot \sum_{i=1}^n (x_i - 5 )^2 $$
Sviluppo la serie di valori x1=1, x2=5, x3=7, x4=3, x5=6, x6=8
$$ \sigma^2 = \frac{1}{6} \cdot [ (1- 5 )^2+(5- 5 )^2+(7- 5 )^2+(3- 5 )^2+(6- 5 )^2+(8- 5 )^2] $$
$$ \sigma^2 = \frac{1}{6} \cdot [ (-4 )^2+(0 )^2+(2)^2+(-2)^2+(1)^2+(3)^2] $$
$$ \sigma^2 = \frac{1}{6} \cdot [ 16+0+4+4+1+9] $$
$$ \sigma^2 = \frac{34}{6} $$
La varianza della distribuzione è σ2=5,66
$$ \sigma^2 = 5,66 $$
Quindi, la deviazione standard (scarto quadratico medio) è la radice quadrata di 5,66
$$ \sigma = \sqrt{5,66} = 2,34 $$
Lo scarto quadratico medio è 2,34.
Esempio 2
Questa è distribuzione di frequenze
Calcolo la media aritmetica ponderata della distribuzione.
La media aritmetica è pari a μ=23
Calcolo la varianza della distribuzione.
$$ \sigma^2 = \frac{1}{\sum_i^k n_i} \cdot \sum_{i=1}^k (x_i - \mu )^2 \cdot n_i $$
$$ \sigma^2 = \frac{1}{\sum_i^k n_i} \cdot \sum_{i=1}^k (x_i - 23 )^2 \cdot n_i $$
La distribuzione è suddivisa in k=10 classi.
$$ \sigma^2 = \frac{1}{\sum_i^{10} n_i} \cdot \sum_{i=1}^{10} (x_i - 23 )^2 \cdot n_i $$
La somma delle frequenze Σni=31
$$ \sigma^2 = \frac{1}{31} \cdot \sum_{i=1}^{10} (x_i - 23 )^2 \cdot n_i $$
Calcolo i quadrati degli scarti degli elementi x1=18, x2=20, x3=21, x4=22, x5=24, x6=25, x7=26, x8=27, x9=28, x10=30 rispetto alla media ponderata μ=23
$$ \sigma^2 = \frac{(18 - 23 )^2 \cdot 4 + (20 - 23 )^2 \cdot 5 + (21 - 23 )^2 \cdot 3 + (22 - 23 )^2 \cdot 4 + (24 - 23 )^2 \cdot 4 + \\ + (25 - 23 )^2 \cdot 3 + (26 - 23 )^2 \cdot 2 + (27 - 23 )^2 \cdot 3 + (28 - 23 )^2 \cdot 2 + (30- 23 )^2 \cdot 1 }{31} $$
$$ \sigma^2 = \frac{(-5)^2 \cdot 4 + (-3)^2 \cdot 5 + (-2)^2 \cdot 3 + (-1)^2 \cdot 4 + (1)^2 \cdot 4 + \\ + (2)^2 \cdot 3 + (3)^2 \cdot 2 + (4)^2 \cdot 3 + (5)^2 \cdot 2 + (7)^2 \cdot 1 }{31} $$
$$ \sigma^2 = \frac{25 \cdot 4 +9 \cdot 5 + 4 \cdot 3 +1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 +4 \cdot 3 + 9 \cdot 2 + 16 \cdot 3 + 25 \cdot 2 + 49 \cdot 1 }{31} $$
$$ \sigma^2 = \frac{100 +45 + 12 +4 + 4 +12 + 18 + 48 + 50+ 49 }{31} $$
$$ \sigma^2 = \frac{342}{31} $$
La varianza della distribuzione di frequenze è σ2=11,03
$$ \sigma^2 = 11,03 $$
Quindi, la deviazione standard della distribuzione è la radice quadrata di 11,03
$$ \sigma = \sqrt{11,03} =3,32 $$
E così via.
