La varianza campionaria
La varianza campionaria misura la variabilità degli elementi in un campione statistico rispetto alla loro media. $$ \sigma^2 = \frac{1}{n-1} \cdot \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 $$ Dove n è il numero di elementi nel campione e μ è la media del campione.
La varianza campionaria stima la varianza di una popolazione a partire dalla varianza calcolata su un campione casuale estratto dalla popolazione stessa.
E' utile per misurare la variabilità quando non posso calcolare la varianza della popolazione, per la ragioni tecniche o economiche.
Ad esempio, la utilizzo quando l'indagine della variabilità comporta la distruzione del campione.
Qual è la differenza rispetto alla varianza? La varianza è calcolata sull'intera popolazione, la varianza campionaria è calcolata su un campione della popolazione. La formula della varianza campionaria ha il denominatore ridotto di una unità (n-1). Dove n è il numero di unità nel campione.
Un esempio pratico
Devo calcolare l'altezza media degli studenti iscritti in una scuola superiore. La popolazione è composta da 1000 studenti.
Per evitare un'indagine sull'intera popolazione, calcolo la media delle altezze su un campione rappresentativo della popolazione, composto da 10 ragazzi (1% della popolazione).
La media delle altezze nel campione è 1,77 cm.
$$ \mu = 1,77 $$
Sapendo che la media del campione è μ=1,77 e il campione è composto da n=10 unità, calcolo la varianza campionaria
$$ \sigma^2 = \frac{1}{n-1} \cdot \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 $$
$$ \sigma^2 = \frac{1}{10-1} \cdot \sum_{i=1}^n (x_i - 1,77)^2 $$
$$ \sigma^2 = \frac{1}{9} \cdot [ ( 1,80-1,77)^2+( 1,78-1,77)^2+( 1,82-1,77)^2+ ( 1,76-1,77)^2+ \\ \ \ \ \ +( 1,77-1,77)^2+( 1,75-1,77)^2+( 1,78-1,77)^2+ \\ \ \ \ \ + ( 1,77-1,77)^2+( 1,70-1,77)^2+( 1,77-1,77)^2 ] $$
$$ \sigma^2 = \frac{1}{9} \cdot [ ( 0,03)^2+( 0,01)^2+( 0,05)^2+( 0,01)^2+( 0)^2+ \\ \ \ \ \ +( -0,02)^2+( 0,01)^2+( 0)^2+( -0,07)^2+(0)^2 ] $$
$$ \sigma^2 = \frac{1}{9} \cdot [ 0,0009+ 0,0001+0,0025+0,0001+0,0004+0,0001+0,0049 ] $$
$$ \sigma^2 = \frac{1}{9} \cdot 0,009 $$
Quindi, la varianza campionaria è σ2=0,001
$$ \sigma^2 = 0,001 $$
Questo mi fornisce indirettamente una stima della varianza della media del campione μ=1,77 sull'intera popolazione di 1000 studenti.
E così via.
