Spazio topologico metrizzabile

Uno spazio metrizzabile è uno spazio topologico $ X $ per il quale esiste una metrica $ d $ che induce la topologia su $ X $.

Una metrica $ d $ su uno spazio $ X $ è una funzione $ d: X \times X \to [0, \infty) $ che soddisfa le proprietà di non negatività, simmetria, disuguaglianza triangolare e il fatto che $ d(x, y) = 0 $ se e solo se $ x = y $.

La topologia indotta da $ d $ è quella in cui i sottoinsiemi aperti sono unioni di palle aperte della forma $ B_r(x) = \{y \in X : d(x, y) < r\} $, dove $ r > 0 $ è il raggio.

Quindi, uno spazio topologico $ X $ è metrizzabile se è possibile trovare una metrica $ d $ tale che la topologia generata dalle open ball di $ d $ coincida esattamente con la topologia di $ X $.

Nota. Questo significa che gli insiemi aperti della topologia di $ X $ possono essere descritti come unioni arbitrarie di palle aperte definite dalla metrica $ d $.

E' noto, ad esempio, che una topologia che non è di Hausdorff non può essere indotta da una metrica. Quindi, non tutti gli spazi topologici sono anche metrizzabili.

Un esempio pratico
Note

Un esempio pratico

Considero la retta reale $ \mathbb{R} $ con la topologia standard.

In questa topologia, gli insiemi aperti sono le unioni arbitrarie di intervalli aperti $ (a, b) $, dove $ a, b \in \mathbb{R} $ e $ a < b $.

Definisco una metrica, ad esempio la distanza standard sulla retta reale, definita da:

$$ d(x, y) = |x - y| $$

Questa è la distanza assoluta tra due punti $ x $ e $ y $ su $ \mathbb{R} $.

Con questa metrica una open ball centrata in $ x $ con raggio $ r $ è un intervallo aperto:

$$ B_r(x) = \{ y \in \mathbb{R} : d(x, y) < r \} = (x - r, x + r) $$

Questo intervallo è un insieme aperto nella topologia standard.

Poiché ogni insieme aperto nella topologia standard di $ \mathbb{R} $ può essere scritto come unione di intervalli aperti, e gli intervalli aperti sono esattamente le open ball generate dalla metrica $ d(x, y) $, la retta reale $ \mathbb{R} $ con la topologia standard è metrizzabile.

Esempio 2

Considero un insieme qualsiasi $ X $ (finito o infinito) con la topologia discreta.

In questa topologia, tutti i sottoinsiemi di $ X $ sono aperti.

Definisco la seguente metrica $ d $ su $ X $:

$$ d(x, y) =
\begin{cases}
0 & \text{se } x = y, \\
1 & \text{se } x \neq y.
\end{cases}
$$

Questa metrica è chiamata metrica discreta.

A questo punto verifico la metrizzabilità dello spazio.

Con questa metrica una open ball di raggio $ r $ centrata in un punto $ x $ è:

Se $ r \leq 1 $, $ B_r(x) = \{ x \} $
Spiegazione. Se $ r \leq 1 $, allora solo $ d(x, y) = 0 $ soddisfa $ d(x, y) < r $, il che implica che $ y = x $. In questo caso, $ B_r(x) = \{ x \} $, cioè la palla aperta contiene solo il punto centrale $ x $.
Se $ r > 1 $, $ B_r(x) = X $.
Spiegazione. Se $ r > 1 $, sia $ d(x, y) = 0 $ (che accade quando $ x = y $) sia $ d(x, y) = 1 $ (che accade quando $ x \neq y $) soddisfano $ d(x, y) < r $ soddisfano la condizione $ d(x, y) < r $. Quindi, tutti i punti di $ X $ soddisfano la condizione $ d(x, y) < r $, e di conseguenza $ B_r(x) = X $$

Gli insiemi $ \{ x \} $ e $ X $ sono aperti nella topologia discreta.

Poiché ogni insieme aperto nella topologia discreta può essere scritto come unione di queste open ball, $ X $ con la topologia discreta è metrizzabile.

Anche in questo esempio una metrica descrive esattamente la topologia dello spazio.

Note

Alcune note aggiuntive sugli spazi metrizzabili:

Se uno spazio topologico X è metrizzabile e lo spazio Y è omeomorfo a X, allora Y è metrizzabile.
Il teorema dice che la metrizzabilità è una proprietà topologica invariante negli omeomorfismi. Questo significa che se uno spazio X è metrizzabile, allora tutti gli spazi che sono topologicamente equivalenti a X (cioè omeomorfi) sono anche questi metrizzabili. Quindi, se trovo uno spazio Y omeomorfo a X non devo cercare o costruire esplicitamente una metrica anche per Y, posso subito concludere che è metrizzabile.
Teorema di metrizzazione di Urysohn
Se uno spazio è regolare e ha una base numerabile, allora lo spazio è metrizzabile. Questo teorema consente di capire quali spazi sono metrizzabili e quali non lo sono.

E così via.