Gli spazi metrici sono spazi di Hausdorff

Ogni spazio metrico è uno spazio di Hausdorff. Se uno spazio topologico non è uno spazio di Hausdorff, allora non può essere indotto da una metrica.

La proprietà di essere uno spazio di Hausdorff garantisce che per ogni coppia di punti distinti esistono due intorni disgiunti che li separano.

In parole semplici, questo significa che, in uno spazio metrico (cioè uno spazio con una distanza definita tra i punti), posso sempre trovare insiemi aperti che separano due punti distinti.

Nota. La proprietà di essere di Hausdorff deve valere per ogni coppia di punti distinti nello spazio, non solo per alcuni punti.

Un esempio pratico
Dimostrazione

Un esempio pratico

Considero il piano euclideo $\mathbb{R}^2$ con la distanza euclidea standard, che possiamo chiamare $d(x, y)$, dove $x = (x_1, x_2)$ e $y = (y_1, y_2)$ sono punti nel piano e la distanza è data da:

$$ d(x, y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}. $$

In questo caso, $\mathbb{R}^2$ con la distanza euclidea è uno spazio metrico.

Uno spazio metrico come $\mathbb{R}^2$ soddisfa la proprietà di essere di Hausdorff, cioè come posso "separare" due punti distinti con insiemi aperti disgiunti.

Prendo due punti qualsiasi $ A = (x_1, y_1) $ e $ B = (x_2, y_2) $ in $\mathbb{R}^2$ con $A \neq B$.

La distanza euclidea tra $A$ e $B$ è $d(A, B) > 0$ perché sono distinti.

Scelgo un raggio minore della metà della distanza tra $A$ e $B$.

$$ r = d(A, B) / 2 $$

Costruisco due cerchi di raggio $r$:

$ U = \{ P \in \mathbb{R}^2 : d(P, A) < r \} $, cioè l'insieme dei punti che distano meno di $r$ da $A$,
$ V = \{ P \in \mathbb{R}^2 : d(P, B) < r \} $, cioè l'insieme dei punti che distano meno di $r$ da $B$.

Ora osservo che $U$ e $V$ non si sovrappongono

$$ U \cap V = \varnothing $$

Questo accade perché ogni punto in $ U $ è più vicino ad $A$ che a $B$, e viceversa per ogni punto in $ V $.

Poiché questo procedimento funziona per qualsiasi coppia di punti distinti $ A $ e $ B $ in $\mathbb{R}^2$, posso affermare che $\mathbb{R}^2$ con la distanza euclidea soddisfa la proprietà di Hausdorff.

Quindi $\mathbb{R}^2$ è uno spazio di Hausdorff.

Esempio 2

Considero l'insieme $\mathbb{R}$ dei numeri reali con la topologia del complemento finito.

Nella topologia del complemento finito, un insieme $U \subseteq \mathbb{R}$ è aperto se $U$ è vuoto ($\varnothing$) oppure il suo complemento $\mathbb{R} \setminus U$ è finito (cioè contiene solo un numero finito di elementi).

In altre parole, un insieme è aperto se contiene "quasi tutti" i punti di $\mathbb{R}$, a eccezione di un numero finito di essi.

Prendo due punti distinti $x, y \in \mathbb{R}$.

Poi cerco di trovare insiemi aperti disgiunti che contengano $x$ e $y$.

Sia $U$ un insieme aperto che contiene $x$. Per essere aperto nella topologia a complemento finito, il complemento di $U$ (cioè $\mathbb{R} \setminus U$) deve essere finito, quindi $U$ deve contenere "quasi tutti" i punti di $\mathbb{R}$, tranne un numero finito.

Allo stesso modo, sia $V$ un insieme aperto che contiene $y$, con il complemento $\mathbb{R} \setminus V$ finito.

Poiché sia $U$ sia $V$ contengono quasi tutti i punti di $\mathbb{R}$, la loro intersezione $U \cap V$ non può mai essere vuota, perché entrambi devono contenere quasi tutti i punti, quindi condivideranno sicuramente un numero infinito di punti.

Nota. Ad esempio, prendo i punti $x = 1$ e $y = 2$. Poi provo a "separare" $x$ e $y$ con insiemi aperti disgiunti con la topologia del complemento finito.

Definisco un insieme aperto $U$ che contiene $x = 1$. Per essere aperto nella topologia a complemento finito, $U$ deve contenere tutti i punti di $\mathbb{R}$ tranne un numero finito. Ad esempio, scelgo di togliere $y = 2$ altri pochi altri punti nel suo intorno. Quindi, $U$ conterrà quasi tutti i punti reali $$ U = \mathbb{R} \setminus(2-\epsilon, 2+\epsilon) $$
Definisco un insieme aperto $V$ che contiene $y = 2$. Anche $V$ dovrà contenere tutti i punti di $\mathbb{R}$ tranne un numero finito. Ad esempio, posso togliere $x = 1$ e pochi altri in un suo intorno. $$ V = \mathbb{R} \setminus (1-\epsilon, 1+\epsilon) $$

A causa della definizione degli insiemi aperti, sia $U$ sia $V$ contengono quasi tutti i punti di $\mathbb{R}$, quindi l’intersezione $U \cap V$ non può essere vuota, conterrà un numero infinito di punti. $$ U \cap V = \mathbb{R} \setminus \left[(2 - \epsilon, 2 + \epsilon) \cup (1 - \epsilon, 1 + \epsilon)\right] \ne \emptyset $$ Questo significa che, in $\mathbb{R}$ con la topologia a complemento finito, non posso trovare insiemi aperti disgiunti che separano i punti $x = 1$ e $y = 2$.

Poiché non posso trovare insiemi aperti disgiunti $U$ e $V$ attorno a due punti distinti $x$ e $y$, lo spazio $(\mathbb{R}, \text{topologia a complemento finito})$ non è uno spazio di Hausdorff.

Quindi, questo spazio topologico non può essere rappresentato da uno spazio metrico.

Dimostrazione

Considero due punti distinti $ x $ e $ y $ in uno spazio metrico $(X, d)$.

Dato che sono distinti, i due punti hanno una qualche distanza $\varepsilon > 0 $.

Definisco due intorni sferici aperti , ossia due open ball (insiemi aperti), intorno ai punti $x$ e $y$ che non si sovrappongono.

Chiamo queste bolle $ U $ e $ V $:

$ U $ è l'insieme di punti che distano meno di $\varepsilon/2$ da $x$,
$ V $ è l'insieme di punti che distano meno di $\varepsilon/2$ da $y$.

A questo punto, devo dimostrare che queste bolle non si sovrappongono.

Suppongo per ipotesi per assurdo che ci sia un punto $z$ che appartiene sia a $U$ che a $V$. Questo implicherebbe che:

$ z $ è a meno di $\varepsilon/2$ da $x$,
$ z $ è a meno di $\varepsilon/2$ da $y$.

Sommando queste distanze, posso usare la proprietà triangolare della distanza per affermare che la distanza tra $ x $ e $ y $, ossia $ d(x, y) $, è minore di $\varepsilon$.

$$ d(x,y) < d(x,z) + d(z,y) < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon $$

Ma questa è una contraddizione, perché avevo definito per ipotesi che $ d(x, y) = \varepsilon$.

Quindi, non può esistere un punto che appartiene sia a $U$ che a $V$.

In questo modo ho dimostrato che in uno spazio metrico posso sempre trovare insiemi aperti disgiunti $ U $ e $ V $ intorno ai punti $ x $ e $ y $.

Questo significa che lo spazio metrico è di Hausdorff.

E così via.