Teorema della continuità negli spazi metrici

Questo teorema collega la continuità di una funzione tra spazi metrici alla definizione epsilon-delta.

In pratica, questo formalizza l’idea che una funzione continua non "salta" improvvisamente: se ci muoviamo di poco nello spazio di partenza (\(X\)), anche l'immagine si muoverà di poco nello spazio di arrivo (\(Y\)).

È anche noto come "definizione epsilon-delta di continuità delle metriche" o "Equivalenza della continuità con la proprietà epsilon-delta negli spazi metrici".

E' lo stesso concetto di continuità che si studia nei corsi di Analisi 1, ma applicato al contesto più generale degli spazi metrici.

Nota. La definizione di continuità che si incontra in Analisi 1, dove si lavora su \(\mathbb{R}\) o \(\mathbb{R}^n\), è un caso particolare di questa definizione. In Analisi 1, si dice che una funzione \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) è continua in un punto \(x \in \mathbb{R}\) se, per ogni \(\varepsilon > 0\), esiste un \(\delta > 0\) tale che, se \(|x - x'| < \delta\), allora \(|f(x) - f(x')| < \varepsilon\). Qui si usano le distanze standard $$ d_X(x, x') = |x - x'| $$ $$ d_Y(f(x), f(x')) = |f(x) - f(x')| $$ La definizione delle metriche, invece, si applica a qualsiasi funzione tra spazi metrici, non solo su \(\mathbb{R}\), ma il concetto di base è sempre lo stesso: "piccoli cambiamenti nell'input portano a piccoli cambiamenti nell'output".

Un esempio pratico

Considero due spazi metrici:

• Spazio di partenza: \(X = \mathbb{R}\), con la metrica standard \(d_X(x, x') = |x - x'|\).
• Spazio di arrivo: \(Y = \mathbb{R}\), con la metrica standard \(d_Y(y, y') = |y - y'|\).

Sia \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), definita come:

$$ f(x) = 2x $$

Devo verificare che \(f(x) = 2x\) è continua utilizzando sia la definizione degli insiemi aperti sia la definizione \(\varepsilon\)-\(\delta\), verificando così l'equivalenza indicata nel teorema.

1] Continuità con insiemi aperti

Nella topologia indotta dalla metrica standard, un insieme \(V \subseteq Y\) è aperto se per ogni \(y \in V\), esiste un \(\varepsilon > 0\) tale che la palla aperta \(B_Y(y, \varepsilon) = \{y' \in Y \mid |y - y'| < \varepsilon\}\) è contenuta in \(V\).

Sia \(V \subseteq Y\) un insieme aperto. La preimmagine \(f^{-1}(V)\) è definita come:

$$ f^{-1}(V) = \{x \in X \mid f(x) \in V\} $$

Dato che \(f(x) = 2x\)

$$ f^{-1}(V) = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x \in V\} $$

Osservo che per ogni \(y \in V\), esiste \(\varepsilon > 0\) tale che \(B_Y(y, \varepsilon) \subseteq V\).

Questo implica che, per \(x \in f^{-1}(V)\), esiste \(\delta = \varepsilon / 2\) tale che la palla aperta \(B_X(x, \delta)\) è contenuta in \(f^{-1}(V)\).

In conclusione, la preimmagine di ogni aperto in \(Y\) è un aperto in \(X\), quindi \(f(x) = 2x\) è continua secondo la definizione topologica.

2] Continuità con la definizione \(\varepsilon\)-\(\delta\)

Sia \(x \in X\) e \(\varepsilon > 0\). Devo trovare \(\delta > 0\) tale che, se \(|x - x'| < \delta\), allora \(|f(x) - f(x')| < \varepsilon\).

$$ f(x) = 2x \quad \text{e} \quad f(x') = 2x', \quad \text{quindi:} $$

$$ |f(x) - f(x')| = |2x - 2x'| = 2|x - x'| $$

Per garantire \(|f(x) - f(x')| < \varepsilon\), scelgo:

$$ \delta = \frac{\varepsilon}{2} $$

Se \(|x - x'| < \delta = \varepsilon / 2\), allora \(|f(x) - f(x')| < \varepsilon\).

Questo dimostra la continuità secondo la definizione \(\varepsilon\)-\(\delta\).

3] Conclusione

Questo esempio dimostra che

• La continuità di \(f(x) = 2x\) implica che la preimmagine di ogni aperto è aperta.
• La continuità con insiemi aperti equivale alla definizione \(\varepsilon\)-\(\delta\) grazie alla costruzione diretta.

La dimostrazione

Devo dimostrare l'equivalenza tra due definizioni di continuità per una funzione \(f : X \to Y\), dove \(X\) e \(Y\) sono spazi metrici.

• Definizione basata sugli insiemi aperti: \(f\) è continua se l'immagine inversa \(f^{-1}(U)\) è aperta in \(X\) per ogni insieme aperto \(U \subseteq Y\).
• Definizione basata sugli intorni: Per ogni \(x \in X\) e per ogni insieme aperto \(U \subseteq Y\) contenente \(f(x)\), esiste un intorno \(V\) di \(x\) in \(X\) tale che \(f(V) \subseteq U\).

1] Se \(f\) è continua nella definizione degli insiemi aperti, allora soddisfa la proprietà basata sugli intorni

Per ipotesi iniziale la funzione \(f\) è continua nella definizione degli insiemi aperti, ossia \(f^{-1}(U)\) è aperto in \(X\) per ogni \(U\) aperto in \(Y\).

Sia \(x \in X\) e \(U \subseteq Y\) un insieme aperto tale che \(f(x) \in U\).

Per la definizione di immagine inversa, \(x \in f^{-1}(U)\).

Poiché \(f^{-1}(U)\) è aperto in \(X\), esiste un intorno \(V\) di \(x\) in \(X\) tale che \(V \subseteq f^{-1}(U)\).

Questo implica che per ogni \(x' \in V\), \(f(x') \in U\), cioè \(f(V) \subseteq U\).

Pertanto, per ogni \(x \in X\) e per ogni insieme aperto \(U \subseteq Y\) contenente \(f(x)\), esiste un intorno \(V\) di \(x\) tale che \(f(V) \subseteq U\).

2] Se per ogni \(x \in X\) e ogni insieme aperto \(U \subseteq Y\) contenente \(f(x)\) esiste un intorno \(V\) di \(x\) tale che \(f(V) \subseteq U\), allora \(f\) soddisfa la definizione degli insiemi aperti

In questo caso, secondo l'ipotesi iniziale, per ogni \(x \in X\) e per ogni insieme aperto \(U \subseteq Y\) contenente \(f(x)\), esista un intorno \(V\) di \(x\) tale che \(f(V) \subseteq U\).

Devo dimostrare che \(f^{-1}(W)\) è aperto in \(X\) per ogni \(W \subseteq Y\) aperto.

Sia \(W \subseteq Y\) un insieme aperto e considero un punto \(x \in f^{-1}(W)\). Questo significa che \(f(x) \in W\).

Poiché \(W\) è aperto e contiene \(f(x)\), per ipotesi esiste un intorno \(V\) di \(x\) in \(X\) tale che \(f(V) \subseteq W\).

Questo implica che \(V \subseteq f^{-1}(W)\).

Pertanto, \(f^{-1}(W)\) è un intorno di ogni suo punto \(x\) e quindi è aperto in \(X\).

Ho dimostrato che una funzione \(f : X \to Y\) tra due spazi metrici è continua nella definizione degli insiemi aperti se e solo se soddisfa la proprietà basata sugli intorni.

E così via.