Spazi vettoriali non finitamente generati
Gli spazi vettoriali sono detti non finitamente generati quando sono generati da un numero infinito di vettori.
In questo caso la dimensione dello spazio vettoriale è infinita.
Un esempio pratico
Lo spazio vettoriale composto dai polinomi in x a coefficienti reali è non finitamente generato.
$$ f(x) = a_0 \cdot 1 + a_1 \cdot x^1 + a_2 \cdot x^2 + ... + a_n x^n $$
E' uno spazio vettoriale perché dato un grado n qualsiasi
- La somma dei polinomi di grado n è polinomio al massimo di grado n.
- Il prodotto di uno scalare non nullo per un polinomio di grado n è un altro polinomio di grado n.
Tuttavia, una volta scelti n vettori generatori, questi potranno definire i polinomi fino al grado n.
Non includono i polinomi di grado n+1 o superiore.
Esempio. Se scelgo n=5 le combinazioni lineari dei generatori $$ f(x) = a_0 \cdot 1 + a_1 \cdot x^1 + a_2 \cdot x^2 + a_3 \cdot x^3 + a_4 \cdot x^4 + a_5 \cdot x^5 + $$ possono generare i polinomi al massimo di quinto grado (es. x5+2x3-x+1). Non possono generare i polinomi di grado 6 (es. x6-2x^4+x2-4) o superiori.
Per generare l'intero spazio vettoriale dei polinomi in x a coefficienti reali ho bisogno di infiniti generatori.
E così via.
