Esercizio sottospazio vettoriale 4
Nello spazio vettoriale V=R2 devo verificare se il seguente sottoinsieme W è un sottospazio vettoriale di V oppure no. $$ W = \{ (x,y) \ | \ x≥0 \ , \ y≥0 \ \} $$
Il sottoinsieme W comprende tutti i punti del I quadrante del piano cartesiano.
Per essere un sottospazio vettoriale deve soddisfare le proprietà dei sottospazi vettoriali e degli spazi vettoriali..
1) Presenza dell'elemento nullo in W
Il sottoinsieme W include al suo interno anche il vettore nulo
$$ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \in \ W$$
Pertanto, non posso subito escludere che sia uno spazio vettoriale.
Nota. La verifica dell'elemento nullo è molto utile farla all'inizio dell'esercizio perché se non ci fosse l'elemento nullo l'insieme W non sarebbe uno spazio vettoriale e, di conseguenza, nemmeno un sottospazio vettoriale. L'esercizio finirebbe qui.
2) La chisura rispetto alla somma dei vettori di W
Prendo due vettori generici del sottoinsieme W
$$ \forall \ \vec{w}_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \ \in \ \{ (x,y) \ | \ x≥0 \ , \ y≥0 \ \} $$
$$ \forall \ \vec{w}_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \ \in \ \{ (x,y) \ | \ x≥0 \ , \ y≥0 \ \} $$
Verifico se la somma dei due vettori w1 + w2 appartiene a W.
$$ \{ (x_1+x_2,y_1+y_2) \ | \ x_1+x_2 ≥ 0 \ \ y_1+y_2 ≥ 0 \ \} $$
Sapendo dalle definizioni dei vettori w1 e w2 che
- x1 e x2 sono entrambi numeri reali non negativi, quindi anche la loro somma è un valore non negativo x1+x2≥0.
- y1 e y2 sono entrambi numeri reali non negativi, quindi anche la loro somma è un valore non negativo y1+y2≥0.
Di conseguenza la somma w1 + w2 appartiene W
La prima proprietà dei sottospazi vettoriali è soddisfatta
2) La chisura rispetto al prodotto di un vettore per uno scalare
Prendo un vettore generico del sottoinsieme W
$$ \forall \vec{w}_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \ \in \ \{ (x,y) \ | \ x≥0 \ , \ y≥0 \ \} $$
e un numero scalare k dell'insieme dei numeri reali R.
$$ k \in R $$
Verifico se il prodotto k·w1 del vettore per lo scalare appartiene a W.
$$ k \cdot w_1 = k \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \cdot x_1 \\ k \cdot y_1 \end{pmatrix} $$
Il prodotto appartiene all'insieme W se soddisfa le condizioni
$$ \{ (k \cdot x_1, k \cdot y_1) \ | \ k \cdot x_1 \ge 0 \ , \ k \cdot y_1 \ge 0 \ \} $$
Le condizioni di appartenenza a W non sono soddisfatte se lo scalare k è minore di zero (k<0)
La seconda proprietà dei sottospazi vettoriali non è soddisfatta
Quindi, l'insieme W non è un sottospazio vettoriale.
E così via.
