Esercizio sottospazio vettoriale 3
Nello spazio vettoriale V=R2 devo verificare se il seguente sottoinsieme W è un sottospazio vettoriale di V oppure no. W={(x,y) | x2−y=0 }
Per essere un sottospazio vettoriale deve soddisfare le proprietà dei sottospazi vettoriali e degli spazi vettoriali..
1) Presenza dell'elemento nullo in W
Considero un generico vettore del sottoinsieme W
→w=(xy) ∈ W⇔x2−y=0
Poi verifico se il sottospazio include l'elemento nullo (x,y)=(0,0)
x2−y=0
(0)2−(0)=0
0=0
L'elemento nullo esiste nel sottoinsieme.
Pertanto, non posso subito escludere che sia uno spazio vettoriale.
Nota. La verifica dell'elemento nullo è molto utile farla all'inizio dell'esercizio perché se non ci fosse l'elemento nullo l'insieme W non sarebbe uno spazio vettoriale e, di conseguenza, nemmeno un sottospazio vettoriale. L'esercizio finirebbe qui.
2) La chisura rispetto alla somma dei vettori di W
Prendo due vettori generici del sottoinsieme W
∀→w1=(x1y1) ∈ ⇔x21−y1=0
∀→w2=(x2y2) ∈ ⇔x22−y2=0
Entrambe le coppie di numeri reali (x1,y1) e (x2,y2) soddisfano l'equazione x2-y=0 del sottoinsieme W.
Verifico se la somma dei due vettori appartiene a W.
(x1+x2)2−(y1+y2)=0
x21+2x1x2+x22−y1−y2=0
(x21−y1)+(x22−y2)+2x1x2=0
Sapendo che x12-y1 è uguale a zero perché il vettore w1 è x12-y1=0
(0)+(x22−y2)+2x1x2=0
e che x22-y2 è uguale a zero perché il vettore w2 è x22-y2=0
(0)+(0)+2x1x2=0
2x1x2=0
Questa identità non è verificata in generale quando x1≠0 e x2≠0
La somma w1+w2 non appartiene a W.
Pertanto, il sottoinsieme W non è chiuso rispetto alla somma dei vettori.
→w1+→w2∉W
La prima proprietà dei sottospazi vettoriali non è soddisfatta
Quindi, l'insieme W non è un sottospazio vettoriale.
Nota. Dal punto di vista geometrico il sottoinsieme di vettori x2-y=0 non è una retta bensì una parabola. Qualsiasi somma di vettori diversi dal vettore nullo non appartiene alla parabola.
E così via.
