Esercizio sottospazio vettoriale 2
Ho uno spazio vettoriale reale V=R2 a due dimensioni e un sottoinsieme W di vettori. $$ W= \{ \ (x,y) \ | \ x-2y=3 \ \} $$ Il sottoinsieme W è un sottospazio vettoriale oppure no?
Per saperlo devo verificare se soddisfa le proprietà sia di uno spazio vettoriale e quelle di un sottospazio vettoriale.
Elemento nullo
L'equazione che definisce il sottoinsieme di vettori W è
$$ \vec{w} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \ \in \ W \ \Leftrightarrow x-2·y=3 $$
Verifico se il sottospazio include il vettore nullo
Sostituisco le coordinate x=0 e y=0.
$$ x-2y=3 $$
$$ 0-2 \cdot 0 = 3 $$
$$ 0 = 3 $$
L'equazione non è soddisfatta per la coppia (x,y)=(0,0).
Questo vuol dire che il sottoinsieme W non include l'elemento nullo.
Non essendoci l'elemento nullo, il sottoinsieme di vettori W non è uno spazio vettoriale.
Nota. L'esistenza dell'elemento nullo è una proprietà degli spazi vettoriali.
Non essendo uno spazio vettoriale non può nemmeno essere un sottospazio vettoriale.
A questo punto non occorre verificare le proprietà dei sottospazi vettoriali, posso concludere che il sottoinsieme W non è un sottospazio vettoriale.
L'esercizio finisce qui.
E così via.
