Esercizio sottospazio vettoriale 2

Ho uno spazio vettoriale reale V=R2 a due dimensioni e un sottoinsieme W di vettori. $$ W= \{ \ (x,y) \ | \ x-2y=3 \ \} $$ Il sottoinsieme W è un sottospazio vettoriale oppure no?

Per saperlo devo verificare se soddisfa le proprietà sia di uno spazio vettoriale e quelle di un sottospazio vettoriale.

Elemento nullo

L'equazione che definisce il sottoinsieme di vettori W è

$$ \vec{w} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \ \in \ W \ \Leftrightarrow x-2·y=3 $$

Verifico se il sottospazio include il vettore nullo

Sostituisco le coordinate x=0 e y=0.

$$ x-2y=3 $$

$$ 0-2 \cdot 0 = 3 $$

$$ 0 = 3 $$

L'equazione non è soddisfatta per la coppia (x,y)=(0,0).

Questo vuol dire che il sottoinsieme W non include l'elemento nullo.

Non essendoci l'elemento nullo, il sottoinsieme di vettori W non è uno spazio vettoriale.

Nota. L'esistenza dell'elemento nullo è una proprietà degli spazi vettoriali.

Non essendo uno spazio vettoriale non può nemmeno essere un sottospazio vettoriale.

A questo punto non occorre verificare le proprietà dei sottospazi vettoriali, posso concludere che il sottoinsieme W non è un sottospazio vettoriale.

L'esercizio finisce qui.

E così via.

 


 

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