Esercizio sottospazio vettoriale 1
Nello spazio vettoriale V=R2 devo verificare se il seguente sottoinsieme W è un sottospazio vettoriale di V oppure no. $$ W = \{ (x,y) \ | \ 3x-2y=0 \ \} $$
Per capirlo devo verificare se soddisfa le proprietà degli spazi vettoriali.
1) Presenza dell'elemento nullo in W
Prendo un generico vettore del sottoinsieme W
$$ \vec{w} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \ \in \ W \Leftrightarrow 3·x-2·y=0 $$
Verifico se il sottospazio include l'elemento nullo.
L'elemento nullo esiste usando la coppia (x,y)=(0,0)
$$ 3x-2y=0 $$
$$ 3(0)-2(0)=0 $$
$$ 0 = 0 $$
Poiché l'elemento nullo esiste, posso verificare se anche le proprietà dei sottospazi vettoriali sono soddisfatte.
Nota. Conviene fare subito la verifica dell'elemento nullo perché se non fosse soddisfatta l'insieme non sarebbe uno spazio vettoriale. Quindi, non potrebbe nemmeno essere un sottospazio vettoriale. Sarebbe inutile verificare anche le altre proprietà e l'esercizio finirebbe qui.
2) La chisura rispetto alla somma dei vettori di W
Prendo due vettori generici del sottoinsieme W
$$ \vec{w}_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \ \in \ \Leftrightarrow 3·x_1-2·y_1=0 $$
$$ \vec{w}_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \ \in \ \Leftrightarrow 3·x_2-2·y_2=0 $$
Entrambe le coppie di numeri reali (x1,y1) e (x2,y2) soddisfano l'equazione 3x-2y=0 del sottoinsieme W.
Come primo passo, verifico se anche la somma dei due vettori appartiene a W.
$$ 3 (x_1+x_2) - 2 (y_1+y_2) = 0 $$
$$ 3 x_1+3x_2 - 2y_1-2y_2) = 0 $$
$$ (3 x_1- 2y_1) + (3x_2 -2y_2) = 0 $$
Sapendo che 3x1-2y1 è uguale a zero perché il vettore w1 è 3x1-2y1=0
$$ 0 + (3x_2 -2y_2) = 0 $$
e che 3x2-2y2 è uguale a zero perché il vettore w2 è 3x2-2y2=0
$$ 0 + 0 = 0 $$
Posso affermare che anche la somma dei vettori è un vettore dell'insieme W
$$ 3 (x_1+x_2) - 2 (y_1+y_2) = 0 $$
Quindi, il sottoinsieme W è chiuso rispetto alla somma dei vettori.
$$ \vec{w}_1 + \vec{w}_2 \in W $$
La prima proprietà dei sottospazi vettoriali è soddisfatta
3) La chisura rispetto alla prodotto di uno scalare per un vettore di W
Prendo un generico vettore del sottoinsieme W
$$ \vec{w} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \ \in \ \Leftrightarrow 3·x-2·y=0 W $$
e un generico scalare del campo K
$$ \lambda \in K $$
Verifico se anche il prodotto λw appartiene a W.
$$ 3 (\lambda \cdot x) - 2 (\lambda \cdot y) = 0 $$
$$ 3 \lambda x - 2 \lambda y) = 0 $$
$$ \lambda \cdot (3 x - 2 y) = 0 $$
Sapendo che 3x-2y è uguale a zero ogni vettore di W soddisfa l'equazione è 3x-2y=0
$$ \lambda \cdot 0 = 0 $$
$$ 0 \cdot 0 = 0 $$
Quindi, il sottoinsieme W è chiuso rispetto al prodotto di uno scalare per un vettore.
$$ \lambda \cdot \vec{w} \ \in \ W $$
Anche la seconda proprietà dei sottospazi vettoriali è soddisfatta.
Pertanto, l'insieme W è un sottospazio vettoriale.
E così via.
