Le operazioni nello spazio vettoriale

Le operazioni nello spazio vettoriale

Qualsiasi spazio vettoriale include due operazioni.

• L'addizione tra vettori. Dati due vettori qualsiasi dell'insieme V l'operazione (x) della somma ( +_k ) dà come risultato un altro vettore appartenente all'insieme V.
  

  Nota. Ho indicato l'insieme dei vettori con la lettera maiuscola V. Gli elementi dell'insieme dei vettori, ossia i singoli vettori, li ho rappresentati con la lettera minuscola v.

• Il prodotto di un vettore per uno scalare. Dato un numero scalare qualsiasi dell'insieme K e un vettore dell'insieme V, l'operazione x del prodotto dà come risultato un altro vettore appartenente all'insieme V.
  
  

  Nota. Ho indicato l'insieme dei numeri scalari con la lettera K mentre con la lettera α un elemento qualsiasi dell'insieme K.

Generalmente le operazioni fondamentali sono quattro: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.

Tuttavia, la sottrazione e la divisione possono essere ricondotte rispettivamente all'addizione e alla moltiplicazione.

Esempio. La divisione equivale al prodotto con il valore reciproco. La sottrazione alla somma con il valore opposto.

Per questa ragione le operazioni degli spazi vettoriali sono soltanto la somma e il prodotto.

In un campo di numeri (e quindi anche in uno spazio vettoriale) le operazioni somma e prodotto devono soddisfare le seguenti proprietà.

• Proprietà associativa
  Dati tre vettori appartenenti a V
  
• Proprietà commutativa
  Dati due vettori appartenenti a V
  
• Proprietà distributiva del prodotto rispetto all'addizione dei vettori
  Dati due vettori appartenenti a V e uno scalare appartenente a K
  
• Proprietà distributiva del prodotto rispetto all'addizione degli scalari
  Dati due scalari appartenenti a K e un vettore appartenente a V
  
• Esistenza di un elemento neutro
  Esiste un elemento neutro 0_v appartenente a V per ogni vettore v ∈ V
  
• Esistenza di un elemento opposto
  Esiste un elemento opposto -v appartenente a V per ogni vettore v ∈ V
  

  Nota. Qualsiasi vettore v moltiplicato per -1 dà come risultato il vettore opposto -v.
  
  

• Compatibilità del prodotto
  Dati due scalari appartenenti a K e un vettore appartenente a V per ogni vettore v ∈ V
  
• Compatibilità dell'elemento neutro
  Dato l'elemento neutro moltiplicativo (1) dell'insieme K degli scalari, per ogni vettore v ∈ V