Esercizio sugli spazi vettoriali 3

Dato lo spazio vettoriale M(2,2,R) composto dalle matrici quadrate di ordine 2, verificare se il sottoinsieme A di M(2,2,R) composto dalle matrici $$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & b-1 \end{pmatrix} \ \ \ \ a,b,c \in R $$ è un sottospazio vettoriale di M(2,2,R)?

Per prima cosa verifico se il sottoinsieme A soddisfa le proprietà degli spazi vettoriali.

Poi verifico se soddisfa anche le proprietà dei sottospazi vettoriali.

1] Il sottoinsieme A è un spazio vettoriale?

L'insieme A delle matrici quadrate M(2,2,R) è sicuramente un sottoinsieme non vuoto.

Tuttavia, è subito evidente che il sottoinsieme A non può contenere la matrice quadrata nulla, ossia la matrice composta solo da zeri

$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \ \ \notin \ A $$

perché due elementi della matrice usano lo stesso parametro. Si tratta di b e b-1

$$ \begin{pmatrix} a & \color{red}b \\ c & \color{red}{b-1} \end{pmatrix} \ \ \ \ a,b,c \in R $$

Ad esempio, se scelgo a=0, b=0, c=0 non ottengo la matrice nulla

$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{-1} \end{pmatrix} \ \ \ \ a,b,c \in R $$

Allo stesso modo, se scelgo la combinazione a=0, b=1, c=0 non ottengo la matrice nulla

$$ \begin{pmatrix} 0 & \color{red}{1} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \ \ \ \ a,b,c \in R $$

Sapendo che la presenza dell'elemento nullo rispetto all'addizione è una delle condizioni dello spazio vettoriale, posso concludere che l'insieme A non è uno spazio vettoriale.

Pertanto, il sottoinsieme A non può essere un sottospazio vettoriale di M(2,2,R).

E così via.