Esercizio sugli spazi vettoriali 2

Dato lo spazio vettoriale M(2,2,R) delle matrici quadrate di ordine 2, il sottoinsieme A di M(2,2,R) composto dalle matrici $$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & 1 \end{pmatrix} \ \ \ \ a,b,c \in R $$ è un sottospazio vettoriale di M(2,2,R)?

Per rispondere alla domanda verifico se il sottoinsieme A soddisfa le proprietà degli spazi vettoriali e le proprietà dei sottospazi vettoriali.

1] Verifico se il sottoinsieme A è un spazio vettoriale

E' sicuramente un sottoinsieme non vuoto.

Tuttavia, è evidente fin dall'inizio che il sottoinsieme non contiene al suo interno la matrice quadrata nulla, ossia la matrice composta solo da zeri.

$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \ \ \notin \ A $$

La presenza dell'elemento nullo rispetto all'addizione è una delle condizioni dello spazio vettoriale.

Pertanto, il sottoinsieme A non è un spazio vettoriale. Quindi, il sottoinsieme A non è un sottospazio vettoriale di M(2,2,R).

Nota. Questo esercizio dimostra la convenienza a verificare prima le condizioni più facili. Ad esempio, la presenza dell'elemento neutro dell'addizione o della moltiplicazione. Poi tutte le altre. Questa accortezza fa risparmiare molto tempo.

E così via.