Esercizio studio del limite 23
Devo risolvere il limite
$$ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x)-1}{x - \frac{\pi}{4}} $$
La tangente di π/4 (45°) è uguale a 1
$$ \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 $$
Quindi, il limite è una forma indeterminata 0/0
$$ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x)-1}{x - \frac{\pi}{4}} = \frac{0}{0} $$
Sapendo che tan(π/4)=1, mi accorgo che il limite è paragonabile al limite di un rapporto incrementale con a=π/4 e f(x)=tan(a)
$$ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x -a} = f'(x) $$
$$ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x)- \tan(\frac{\pi}{4})}{x-\frac{\pi}{4}} = f'(x) $$
Il limite del rapporto incrementale è la derivata f'(x)
Quindi il limite coincide con la derivata prima della funzione f(x)=tan(x).
$$ \lim_{x \rightarrow \frac{pi}{4}} \frac{\tan(x)- \tan(\frac{\pi}{4})}{x-\frac{\pi}{4}} = D[ \tan(x) ] $$
La derivata prima della tangente è 1/cos2(x)
$$ \lim_{x \rightarrow \frac{pi}{4}} \frac{\tan(x)- \tan(\frac{\pi}{4})}{x-\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\cos^2(x)} $$
Per x che tende a π/4, il coseno di π/4 è uguale (√2)/2
$$ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x)- \tan(\frac{\pi}{4})}{x-\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} $$
$$ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x)- \tan(\frac{\pi}{4})}{x-\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\frac{2}{4}} $$
$$ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x)- \tan(\frac{\pi}{4})}{x-\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} $$
$$ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x)- \tan(\frac{\pi}{4})}{x-\frac{\pi}{4}} = 2 $$
Pertanto, il limite della funzione è uguale a 2.
Verifica. Il limite è risolvibile anche con il teorema di De L'Hopital. $$ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(x)-1}{x - \frac{\pi}{4}} $$ Derivo il numeratore e il denominatore. $$ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{D[ \tan(x)-1 ]}{D[x - \frac{\pi}{4}]} $$ $$ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{1}{\cos^2(x)}}{1} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2(x)} $$ Per x che tende a π/4, il coseno di π/4 è uguale (√2)/2 $$ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2(x)} = \frac{1}{( \frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1} {\frac{2}{4} } = 1 \cdot \frac{4}{2} = 2 $$ Il risultato è lo stesso.
E così via.