La funzione logaritmica
La funzione logaritmica è una funzione in cui almeno un'incognita è nell'argomento di un logaritmo. $$ y = \log_b x $$ Dove b è un numero positivo (b>0) diverso da uno (b≠1) detto base del logaritmo.
La funzione logaritmo per una base b>0 e b≠1 è definita nell'insieme dei numeri positivi.
Quindi, il dominio della funzione è l'insieme dei numeri reali positivi R+.
Il codominio è invece l'insieme dei numeri reali R.
$$ f : R^+ \rightarrow R $$
Ecco il grafico del logaritmo base 10 ( log10 ) e del logaritmo naturale o neperiano ( ln ) su base e (numero di Nepero).
Se la base è maggiore di 1 la funzione del logaritmo è crescente
- E' negativa per argomenti compresi tra 0 e 1.
- E' positiva per argomenti maggiori di 1.
Se la base del logaritmo è compresa tra 0 e 1 la funzione del logaritmo è decrecente
- E' negativa per argomenti maggiori di 1
- E' positiva per argomenti compresi tra 0 e 1.
In entrambi i casi la funzione logaritmica è biettiva e invertibile.
La funzione inversa della funzione logaritmica è una funzione esponenziale del tipo by dove y=logb x
Esempio. La funzione logaritmica di x su base 2 è invertibile. La sua funzione inversa è la funzione esponenziale 2y.
La funzione esponenziale by e la funzione logaritmica y=logb x sono simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Altre osservazioni
Alcune osservazioni utili
- Il logaritmo log1/b x è uguale al logaritmo -logb x $$ \log_{\frac{1}{b}} x = - \log_b x$$
Dimostrazione. Considero il logaritmo $$ \log_{\frac{1}{2}} $$ applico la formula del cambiamento di base per convertirlo sulla base inversa b=2 $$ \log_{\frac{1}{2}} = \frac{ \log_2 x }{ \log_2 \frac{1}{2} }$$ In questi casi il logaritmo al denominatore è sempre uguale a -1 $$ \log_{\frac{1}{2}} = \frac{ \log_2 x }{ -1 }$$ $$ \log_{\frac{1}{2}} = - \log_2 x $$ Pertanto, c'è una relazione stretta tra la base (b) e la base inversa (1/b) di un logaritmo.
- Per ottenere una funzione simmetrica rispetto all'asse x basta utilizzare il valore inverso della base 1/b oppure il valore opposto del logaritmi -logb x usando la stessa base.
E così via
