Algebra lineare ( FAQ )
Alcune domande e risposte frequenti sull'algebra lineare.
Cos'è un'equazione lineare
Un'equazione è detta lineare se può essere espressa come un polinomio di grado 1 uguagliato a 0.
$$ a_1 x_1 + ... + α_m x_m - b = 0 $$
Cos'è un sistema lineare
Un sistema lineare è un sistema di equazioni composto da due o più equazioni lineari.
Cos'è la combinazione lineare
La combinazione lineare tra vettori e coefficienti scalari è il seguente vettore:
$$ v=α_1 v_1 + ... + α_m v_m $$
Cos'è lo span lineare
Lo span lineare (Lk) è un insieme di vettori v1,...,vn dello spazio vettoriale V nel campo K che possono essere scritti come combinazione lineare di n scalari (a1,...,an).
$$ L_k ( v_1 ,..., v_n ) = \{ \: α_1 v_1 +...+ α_n v_n \: \: \forall α_i \in K \} $$
Cosa sono i generatori dello spazio vettoriale
Un sistema di generatori è un insieme di vettori LR (v1,...,vn) dello spazio vettoriale V nel campo K, in grado di generare tutti i vettori vn dello spazio vettoriale V tramite una loro combinazione lineare con n scalari (a1,...,an).
$$ \forall v_i \in V \: \: , \: \: v_i = α_1 v_1 +...+ α_m v_m \: \: , \: \: v_1,...,v_m \in L_R $$
Cos'è la base dello spazio vettoriale
Una base B dello spazio vettoriale è un sistema minimale di vettori generatori in cui ogni sottoinsieme di vettori è linearmente indipendente.
Cosa sono le coordinate del vettore
Un vettore v nello spazio vettoriale V è determinato da un'unica combinazione di coefficienti scalari a1,...,an detti coordinate o pesi. Quindi, ogni v ∈ V è rappresentato tramite la base da un'unica combinazione di scalari.
$$ v = α_1 v_1 +...+ α_n v_n $$
La differenza tra equazioni parametriche ed equazioni cartesiane
Per descrivere un sottospazio W si possono usare le equazioni parametriche oppure le equazioni cartesiani. Sono due forme equivalenti di rappresentazione.
