Le applicazioni lineari
Un'applicazione lineare è una funzione lineare (o omomorfismo) $$ f: V \rightarrow W $$che agisce tra due spazi vettoriali \( V \) e \( W \) sullo stesso campo \( \mathbb{K} \) (ad esempio \( \mathbb{R} \) o \( \mathbb{C} \)) e che soddisfa le seguenti proprietà per tutti i vettori \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \) e tutti gli scalari \( c \in \mathbb{K} \):
- Additività $$ f(v_1 +_v v_2)=f(v_1) +_w f(v_2) \:\:\:\: ∀ \ v \in V $$
- Omogeneità rispetto al prodotto $$ f(α ·_v v) = α ·_w f(v) \:\:\:\: ∀ \ α \in R $$
La prima proprietà è una funzione additiva mentre la seconda è una funzione omogenea di I grado.
In altre parole, un'applicazione lineare preserva sia la somma di vettori sia la moltiplicazione per uno scalare.
Se la relazione \( f \) è un’applicazione lineare, si scrive:
$$ f: V \to W $$
Dove \( V \) è il dominio, cioè lo spazio vettoriale di partenza, \( W \) è il codominio, cioè lo spazio vettoriale di arrivo.
Nota. Tutte le applicazioni lineari sono compatibili con le operazioni degli spazi vettoriali.
Un esempio pratico
Esempio 1
Considero \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) definito come:
$$ f\left[\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix} 2x \\ 3y \end{pmatrix} $$
Verifico se soddisfa le proprietà delle applicazioni lineari.
- Additività:$$ f \left[ \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \right]= f \left[ \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \right] + f \left[ \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \right] $$ $$ f \left[ \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} \right]= \begin{pmatrix} 2x_1 \\ 3y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2x_2 \\ 3y_2 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} 2 (x_1 + x_2) \\ 3(y_1 + y_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1 + 2x_2 \\ 3y_1 + 3y_2 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} 2x_1 + 2x_2 \\ 3y_1 + 3y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1 + 2x_2 \\ 3y_1 + 3y_2 \end{pmatrix} $$ Il risultato è lo stesso in entrambi i lati, quindi la relazione soddisfa la proprietà additività.
- Omogeneità:
$$ f \left[ c \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \right]= c \cdot f \left[ \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \right] $$ $$ f \left[ \begin{pmatrix} c x_1 \\ c y_1 \end{pmatrix} \right]= c \cdot \begin{pmatrix} 2x_1 \\ 3y_1 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} 2c x_1 \\ 3c y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2cx_1 \\ 3cy_1 \end{pmatrix} $$ Anche in questo caso il risultato è lo stesso in entrambi i lati. Quindi, la relazione soddisfa la proprietà dell'omogeneità rispetto al prodotto.
Si tratta di un'applicazione lineare perché soddisfa entrambe le proprietà.
Esempio 2
In questo esercizio prendo come riferimento una funzione f.
$$ f \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-z \\ x-2z+y \end{pmatrix} $$
Per capire se la funzione è un'applicazione lineare, devo verificare se soddisfa le due proprietà delle applicazioni lineari.
$$ f(v_1 + v_2)=f(v_1) + f(v_2) \:\:\:\: ∀ v \in V $$ $$ f(α·v) = α·f(v) \:\:\:\: ∀ α \in R $$
Quindi, prendo due vettori generici v1 e v2 dello spazio vettoriale
$$ v_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} $$
e verifico se f è una funzione additiva.
$$ f \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} =f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} $$
Prima calcolo
$$ f \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-z \\ x-2z+y \end{pmatrix} $$
$$ f \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (x_1 + x_2)-(z_1 + z_2) \\ (x_1 + x_2)-2(z_1 + z_2)+(y_1 + y_2) \end{pmatrix} $$
Poi calcolo
$$ f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1-z_1 \\ x_1-2z_1+y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2-z_2 \\ x_2-2z_2+y_2 \end{pmatrix} $$
$$ f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1-z_1 + x_2-z_2 \\ x_1-2z_1+y_1 + x_2-2z_2+y_2 \end{pmatrix} $$
$$ f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1-z_1 + x_2-z_2 \\ (x_1+x_2)-2(z_1+z_2)+(y_1+y_2) \end{pmatrix} $$
I due risultati coincidono, pertanto la prima proprietà è soddisfatta. E' una funzione additiva.
Ora devo verificare se la funzione è anche una funzione omogenea di I grado.
$$ f \begin{pmatrix} a·x_1 \\ a·y_1 \\ a·z_1 \end{pmatrix} = a·f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} $$
Prima calcolo
$$ f \begin{pmatrix} a·x_1 \\ a·y_1 \\ a·z_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax-az \\ ax-2az+ay) \end{pmatrix} $$
$$ f \begin{pmatrix} a·x_1 \\ a·y_1 \\ a·z_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a·(x-z) \\ a·(x-2z+y) \end{pmatrix} $$
Poi calcolo
$$ a·f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} = a· \begin{pmatrix} x-z \\ x-2z+y \end{pmatrix} $$
$$ a·f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a·(x-z) \\ a·(x-2z+y) \end{pmatrix} $$
Anche la seconda proprietà è verificata.
Sono soddisfatte entrambe le proprietà ( funzione additiva e omogenea di primo grado ).
Pertanto, posso affermare che la funzione è un'applicazione lineare.
Esercizio 3
In quest'altro esempio devo studiare la linearità della funzione
$$ f \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xy \\ x-z^2 \end{pmatrix} $$
Prima verifico se è una funzione additiva
$$ f \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} =f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} $$
ossia
$$ \begin{pmatrix} (x_1 + x_2)(y_1 + y_2) \\ (z_1 + z_2 )^2-(x_1+x_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 y_1 \\ x_1-z_1^2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 y_2 \\ x_2 -z_2^2 \end{pmatrix} $$
Il membro di sinistra dell'equazione è il seguente:
$$ \begin{pmatrix} (x_1 + x_2)(y_1 + y_2) \\ (z_1 + z_2 )^2-(x_1+x_2) \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + x_2 y_2) \\ (z_1^2 +2z_1 z_2 + z_2^2 - x_1+x_2) \end{pmatrix} $$
Il membro di destra dell'equazione è il seguente:
$$ \begin{pmatrix} x_1 y_1 \\ x_1-z_1^2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 y_2 \\ x_2 -z_2^2 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} x_1 y_1 + x_2 y_2 \\ x_1-z_1^2 + x_2 -z_2^2 \end{pmatrix} $$
In questo caso ottengo due risultati diversi.
Pertanto, la funzione non soddisfa la prima proprietà e non è un'applicazione lineare.
E così via.
Video didattica sulle applicazioni lineari
Alcuni video di approfondimento che considero utili per capire le applicazioni lineari.
1) Video con spiegazione
2) video con esercizio pratico svolto alla lavagna