Le applicazioni lineari

La prima proprietà è una funzione additiva mentre la seconda è una funzione omogenea di I grado.

In altre parole, un'applicazione lineare preserva sia la somma di vettori sia la moltiplicazione per uno scalare.

Se la relazione \( f \) è un’applicazione lineare, si scrive:

$$ f: V \to W $$

Dove \( V \) è il dominio, cioè lo spazio vettoriale di partenza, \( W \) è il codominio, cioè lo spazio vettoriale di arrivo.

Nota. Tutte le applicazioni lineari sono compatibili con le operazioni degli spazi vettoriali.

Un esempio pratico 

Esempio 1

Considero \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) definito come:

$$ f\left[\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix} 2x \\ 3y \end{pmatrix} $$

Verifico se soddisfa le proprietà delle applicazioni lineari.

1. Additività:$$ f \left[ \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \right]= f \left[ \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \right] +  f \left[ \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \right] $$ $$ f \left[ \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix}  \right]=  \begin{pmatrix} 2x_1 \\ 3y_1 \end{pmatrix}  +   \begin{pmatrix} 2x_2 \\ 3y_2 \end{pmatrix}  $$ $$ \begin{pmatrix} 2 (x_1 + x_2) \\ 3(y_1 + y_2) \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 2x_1 + 2x_2 \\ 3y_1 + 3y_2   \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} 2x_1 + 2x_2 \\ 3y_1 + 3y_2 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 2x_1 + 2x_2 \\ 3y_1 + 3y_2   \end{pmatrix} $$ Il risultato è lo stesso in entrambi i lati, quindi la relazione soddisfa la proprietà additività.
2. Omogeneità:
   $$ f \left[ c \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \right]= c \cdot f \left[ \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \right] $$ $$ f \left[ \begin{pmatrix} c x_1 \\ c y_1 \end{pmatrix} \right]= c \cdot \begin{pmatrix} 2x_1 \\ 3y_1 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} 2c x_1 \\ 3c y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2cx_1 \\ 3cy_1 \end{pmatrix} $$ Anche in questo caso il risultato è lo stesso in entrambi i lati. Quindi, la relazione soddisfa la proprietà dell'omogeneità rispetto al prodotto.

Si tratta di un'applicazione lineare perché soddisfa entrambe le proprietà.

Esempio 2

In questo esercizio prendo come riferimento una funzione f.

$$ f \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-z \\ x-2z+y \end{pmatrix} $$

Per capire se la funzione è un'applicazione lineare, devo verificare se soddisfa le due proprietà delle applicazioni lineari.

$$ f(v_1 + v_2)=f(v_1) + f(v_2) \:\:\:\: ∀ v \in V $$ $$ f(α·v) = α·f(v) \:\:\:\: ∀ α \in R $$

Quindi, prendo due vettori generici v₁ e v₂ dello spazio vettoriale

$$ v_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} $$

e verifico se f è una funzione additiva.

$$ f \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} =f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} $$

Prima calcolo

$$ f \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-z \\ x-2z+y \end{pmatrix} $$

$$ f \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (x_1 + x_2)-(z_1 + z_2) \\ (x_1 + x_2)-2(z_1 + z_2)+(y_1 + y_2) \end{pmatrix} $$

Poi calcolo

$$ f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1-z_1 \\ x_1-2z_1+y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2-z_2 \\ x_2-2z_2+y_2 \end{pmatrix} $$

$$ f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1-z_1 + x_2-z_2 \\ x_1-2z_1+y_1 + x_2-2z_2+y_2 \end{pmatrix} $$

$$ f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1-z_1 + x_2-z_2 \\ (x_1+x_2)-2(z_1+z_2)+(y_1+y_2) \end{pmatrix} $$

I due risultati coincidono, pertanto la prima proprietà è soddisfatta. E' una funzione additiva.

Ora devo verificare se la funzione è anche una funzione omogenea di I grado.

$$ f \begin{pmatrix} a·x_1 \\ a·y_1 \\ a·z_1 \end{pmatrix} = a·f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} $$

Prima calcolo

$$ f \begin{pmatrix} a·x_1 \\ a·y_1 \\ a·z_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax-az \\ ax-2az+ay) \end{pmatrix} $$

$$ f \begin{pmatrix} a·x_1 \\ a·y_1 \\ a·z_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a·(x-z) \\ a·(x-2z+y) \end{pmatrix} $$

Poi calcolo

$$ a·f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} = a· \begin{pmatrix} x-z \\ x-2z+y \end{pmatrix} $$

$$ a·f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a·(x-z) \\ a·(x-2z+y) \end{pmatrix} $$

Anche la seconda proprietà è verificata.

Sono soddisfatte entrambe le proprietà ( funzione additiva e omogenea di primo grado ).

Pertanto, posso affermare che la funzione è un'applicazione lineare.

Esercizio 3

In quest'altro esempio devo studiare la linearità della funzione

$$ f \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xy \\ x-z^2 \end{pmatrix} $$

Prima verifico se è una funzione additiva

$$ f \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} =f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} $$

ossia

$$ \begin{pmatrix} (x_1 + x_2)(y_1 + y_2) \\ (z_1 + z_2 )^2-(x_1+x_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 y_1 \\ x_1-z_1^2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 y_2 \\ x_2 -z_2^2 \end{pmatrix} $$

Il membro di sinistra dell'equazione è il seguente:

$$ \begin{pmatrix} (x_1 + x_2)(y_1 + y_2) \\ (z_1 + z_2 )^2-(x_1+x_2) \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + x_2 y_2) \\ (z_1^2 +2z_1 z_2 + z_2^2 - x_1+x_2) \end{pmatrix} $$

Il membro di destra dell'equazione è il seguente:

$$ \begin{pmatrix} x_1 y_1 \\ x_1-z_1^2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 y_2 \\ x_2 -z_2^2 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} x_1 y_1 + x_2 y_2 \\ x_1-z_1^2 + x_2 -z_2^2 \end{pmatrix} $$

In questo caso ottengo due risultati diversi.

Pertanto, la funzione non soddisfa la prima proprietà e non è un'applicazione lineare.

E così via.