Le applicazioni lineari
Un'applicazione lineare è una funzione lineare ( o omomorfismo ) che mette in relazione due spazi vettoriali V e W nel campo K $$ f: V \rightarrow W $$ e soddisfa le seguenti proprietà. $$ f(v_1 +_v v_2)=f(v_1) +_w f(v_2) \:\:\:\: ∀ \ v \in V $$ $$ f(α ·_v v) = α ·_w f(v) \:\:\:\: ∀ \ α \in R $$
La prima proprietà è una funzione additiva mentre la seconda è una funzione omogenea di I grado.
Nota. Tutte le applicazioni lineari sono compatibili con le operazioni degli spazi vettoriali.
Un esempio pratico
Esercizio 1
In questo esercizio prendo come riferimento una funzione f.
$$ f \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-z \\ x-2z+y \end{pmatrix} $$
Per capire se la funzione è un'applicazione lineare, devo verificare se soddisfa le due proprietà delle applicazioni lineari.
$$ f(v_1 + v_2)=f(v_1) + f(v_2) \:\:\:\: ∀ v \in V $$ $$ f(α·v) = α·f(v) \:\:\:\: ∀ α \in R $$
Quindi, prendo due vettori generici v1 e v2 dello spazio vettoriale
$$ v_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} $$
e verifico se f è una funzione additiva.
$$ f \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} =f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} $$
Prima calcolo
$$ f \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-z \\ x-2z+y \end{pmatrix} $$
$$ f \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (x_1 + x_2)-(z_1 + z_2) \\ (x_1 + x_2)-2(z_1 + z_2)+(y_1 + y_2) \end{pmatrix} $$
Poi calcolo
$$ f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1-z_1 \\ x_1-2z_1+y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2-z_2 \\ x_2-2z_2+y_2 \end{pmatrix} $$
$$ f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1-z_1 + x_2-z_2 \\ x_1-2z_1+y_1 + x_2-2z_2+y_2 \end{pmatrix} $$
$$ f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1-z_1 + x_2-z_2 \\ (x_1+x_2)-2(z_1+z_2)+(y_1+y_2) \end{pmatrix} $$
I due risultati coincidono, pertanto la prima proprietà è soddisfatta. E' una funzione additiva.
Ora devo verificare se la funzione è anche una funzione omogenea di I grado.
$$ f \begin{pmatrix} a·x_1 \\ a·y_1 \\ a·z_1 \end{pmatrix} = a·f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} $$
Prima calcolo
$$ f \begin{pmatrix} a·x_1 \\ a·y_1 \\ a·z_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax-az \\ ax-2az+ay) \end{pmatrix} $$
$$ f \begin{pmatrix} a·x_1 \\ a·y_1 \\ a·z_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a·(x-z) \\ a·(x-2z+y) \end{pmatrix} $$
Poi calcolo
$$ a·f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} = a· \begin{pmatrix} x-z \\ x-2z+y \end{pmatrix} $$
$$ a·f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a·(x-z) \\ a·(x-2z+y) \end{pmatrix} $$
Anche la seconda proprietà è verificata.
Sono soddisfatte entrambe le proprietà ( funzione additiva e omogenea di primo grado ).
Pertanto, posso affermare che la funzione è un'applicazione lineare.
Esercizio 2
In quest'altro esempio devo studiare la linearità della funzione
$$ f \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xy \\ x-z^2 \end{pmatrix} $$
Prima verifico se è una funzione additiva
$$ f \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} =f \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} $$
ossia
$$ \begin{pmatrix} (x_1 + x_2)(y_1 + y_2) \\ (z_1 + z_2 )^2-(x_1+x_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 y_1 \\ x_1-z_1^2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 y_2 \\ x_2 -z_2^2 \end{pmatrix} $$
Il membro di sinistra dell'equazione è il seguente:
$$ \begin{pmatrix} (x_1 + x_2)(y_1 + y_2) \\ (z_1 + z_2 )^2-(x_1+x_2) \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + x_2 y_2) \\ (z_1^2 +2z_1 z_2 + z_2^2 - x_1+x_2) \end{pmatrix} $$
Il membro di destra dell'equazione è il seguente:
$$ \begin{pmatrix} x_1 y_1 \\ x_1-z_1^2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 y_2 \\ x_2 -z_2^2 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} x_1 y_1 + x_2 y_2 \\ x_1-z_1^2 + x_2 -z_2^2 \end{pmatrix} $$
In questo caso ottengo due risultati diversi.
Pertanto, la funzione non soddisfa la prima proprietà e non è un'applicazione lineare.
E così via.
Video didattica sulle applicazioni lineari
Alcuni video di approfondimento che considero utili per capire le applicazioni lineari.
1) Video con spiegazione
2) video con esercizio pratico svolto alla lavagna