La risoluzione dei sistemi lineari con le matrici

Un sistema lineare è composto da m equazioni e n incognite

un esempio di sistema di equazioni lineari

Il sistema può essere rappresentato anche sotto forma di matrici e risolto tramite il calcolo matriciale.

Come rappresentare il sistema lineare con le matrici

Per prima cosa, il sistema lineare deve essere scomposto in una matrice completa, una matrice incompleta e un vettore delle incognite.

La matrice completa

La matrice completa A|B è la matrice composta dai coefficienti a e dai termini noti b.

la matrice completa

La matrice incompleta ( o matrice dei coefficienti )

La matrice incompleta A è la matrice composta dai coefficienti del sistema.

la matrice incompleta

Il vettore delle incognite

Il vettore delle incognite X è la matrice colonna composta dalle n incognite x1,...,xn del sistema lineare.

il vettore delle incognite del sistema lineare

Il vettore dei termini noti

Il vettore dei termini noti del sistema B è composto dai termini noti delle m equazioni del sistema lineare.

il vettore dei termini noti

La rappresentazione matriciale del sistema lineare

Il prodotto tra la matrice dei coefficienti e la matrice colonna delle incognite X è uguale al vettore dei termini noti B.

la rappresentazione matriciale del problema

Il teorema Rouché-Capelli

Il teorema Rouché-Capelli permette di capire se il sistema lineare ha soluzioni e quante sono.

Nota. Il teorema restuituisce il numero delle soluzioni del sistema ma non dice quali sono.

Il teorema di Cramer

Il teorema di Cramer consente di calcolare la soluzione del sistema lineare quando la matrice dei coefficienti è una matrice quadrata.

Il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan

Per risolvere i sistemi lineari si può usare anche il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan.

Questo metodo è utile perché consente di utilizzare il teorema di Cramer anche nei sistemi lineari rettangolari ( non quadrati ).

 


 

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knowledge base
  1. Le equazioni lineari
  2. I sistemi lineari
  3. I sistemi omogenei
  4. La risoluzione del sistema lineare con le matrici
  5. Il teorema di Rouché-Capelli
  6. Il teorema di struttura delle soluzioni
  7. Gli spazi vettoriali
  8. I sottospazi vettoriali
  9. I sistemi lineari omogenei e i sottospazi vettoriali