La risoluzione dei sistemi lineari con le matrici
Un sistema lineare è composto da m equazioni e n incognite
Il sistema può essere rappresentato anche sotto forma di matrici e risolto tramite il calcolo matriciale.
Come rappresentare il sistema lineare con le matrici
Per prima cosa, il sistema lineare deve essere scomposto in una matrice completa, una matrice incompleta e un vettore delle incognite.
La matrice completa
La matrice completa A|B è la matrice composta dai coefficienti a e dai termini noti b.
La matrice incompleta ( o matrice dei coefficienti )
La matrice incompleta A è la matrice composta dai coefficienti del sistema.
Il vettore delle incognite
Il vettore delle incognite X è la matrice colonna composta dalle n incognite x1,...,xn del sistema lineare.
Il vettore dei termini noti
Il vettore dei termini noti del sistema B è composto dai termini noti delle m equazioni del sistema lineare.
La rappresentazione matriciale del sistema lineare
Il prodotto tra la matrice dei coefficienti e la matrice colonna delle incognite X è uguale al vettore dei termini noti B.
Il teorema Rouché-Capelli
Il teorema Rouché-Capelli permette di capire se il sistema lineare ha soluzioni e quante sono.
Nota. Il teorema restuituisce il numero delle soluzioni del sistema ma non dice quali sono.
Il teorema di Cramer
Il teorema di Cramer consente di calcolare la soluzione del sistema lineare quando la matrice dei coefficienti è una matrice quadrata.
Il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan
Per risolvere i sistemi lineari si può usare anche il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan.
Questo metodo è utile perché consente di utilizzare il teorema di Cramer anche nei sistemi lineari rettangolari ( non quadrati ).