I divisori dello zero
In un anello commutativo (S,+,·) un elemento non nullo a≠0 dell'insieme S è detto divisore dello zero se esiste un altro elemento non nullo b≠0 dell'insieme S tale che ab=0 $$ \exists \ \ a,b \in S \ , \ a \ne 0 \ , \ b \ne 0 \ \ \ | \ \ \ a \cdot b = 0 $$
L'anello commutativo dei numeri reali (R,+,*) non ha divisori dello zero.
Quindi, questo concetto è inizialmente poco intuitivo.
Nota. Fin dalla scuola media ci insegnano che nessun numero è divisibile per zero. Pertanto, questo concetto dell'algebra astratta crea spesso confusione e dubbi.
Per spiegarlo utilizzo un esempio pratico tratto dall'aritmetica modulare.
Un esempio pratico
Considero l'insieme delle classi resto modulo 6
$$ Z_6 = \{ 0,1,2,3,4,5 \} $$
L'insieme Z6 forma un anello commutativo (Z6,+,·) rispetto all'addizione (+) e alla moltiplicazione (·)
$$ (Z_6,+, \cdot) $$
Costruisco la tavola moltiplicativa della struttura algebrica per verificare se esistono divisori dello zero
| a ·6 b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 0 | 2 | 4 |
| 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 4 | 0 | 4 | 2 |
0 | 4 | 2 |
| 5 | 0 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
In questo caso i numeri 2, 3 e 4 sono divisori dello zero.
I numeri 2 e 3 sono divisori dello zero perché
$$ 2 \cdot 3 ≡ 0 \ mod \ 6 $$
Spiegazione. Calcolo il prodotto tra i numeri 2 e 3 $$ 2 \cdot 3=6 $$ Poi calcolo il resto della divisione del prodotto appena ottenuto (2·3=6) per il modulo 6 della classe $$ 6:6=1 \ \ r =0 $$ Il resto della divisione è zero. Quindi, nella classe modulo 6 l'operazione 2·3=0. Lo stesso risultato ottengo nel prodotto 3·2=0
Anche il numero 4 è un divisore dello zero perché
$$ 4 \cdot 3 ≡ 0 \ mod \ 6 $$
Spiegazione. Calcolo il prodotto tra i numeri 4 e 3 $$ 4 \cdot 3=12 $$ Poi calcolo il resto della divisione di 12 per il modulo 6 $$ 12:6=2 \ \ r =0 $$ Il resto della divisione è zero. Quindi, nella classe modulo 6 l'operazione 4·3=0. Lo stesso risultato ottengo nel prodotto 3·4=0
Esempio 2
Considero l'anello dei numeri reali (R,+,·) rispetto all'addizione e alla moltiplicazione
$$ (R,+,*) $$
Il prodotto di qualsiasi coppia di numeri reali non nulli a≠0, b≠0 è diverso da zero
$$ \forall \ a,b \in R \ , \ a \ne 0 \ , \ b \ne 0 \ \ \Longrightarrow \ ab \ne 0 $$
Il prodotto di due numeri reali è uguale a zero (ab=0) solo se almeno uno dei fattori è nullo
$$ ab=0 \ \ \Longrightarrow \ a=0 \ ∨ \ b = 0 $$
Pertanto, l'anello dei numeri reali (R.+,·) non ha divisori dello zero.
E così via.
