I corpi

In un corpo è necessario che esista un elemento neutro della seconda operazione tale che

$$ a \cdot 1 = a \ \ \ \ \ \forall \ a \in R $$

Inoltre, per ogni elemento diverso dall'elemento neutro dell'addizione (zero) deve esistere l'elemento inverso della moltiplicazione.

$$ a \cdot a^{-1} = 1 \ \ \ \ \ \forall \ a \ , \ a \ne 0 \ \ \in R $$

Pertanto, in un corpo l'insieme S e la seconda operazione (moltiplicazione) formano un gruppo (S,·)

Nota. Pur chiamandosi "addizione" e "moltiplicazione", la prima e la seconda operazione possono anche essere operazioni diverse dall'addizione e dalla moltiplicazione.

Non occorre che la seconda operazione (moltiplicazione) sia commutativa.

Se in un corpo anche la seconda operazione soddisfa la proprietà commutativa, si parla di corpo commutativo o campo.

Un esempio pratico

Considero l'insieme dei numeri reali R con le operazioni di addizione (+) e moltiplicazione (·)

$$ (R, + , \cdot ) $$

Per capire se questa struttura algebrica è un corpo, verifico se la prima e la seconda operazione soddisfano le relative proprietà di un corpo.

La prima operazione (+)

Verifico se la prima operazione forma un gruppo abeliano (R,+)

• L'addizione è un'operazione interna in R perché dati due elementi qualsiasi a,b∈R anche la loro somma appartiene a+b all'insieme R $$ \forall \ a,b \in R \ \ \ \ a+b \in R $$
• L'addizione soddisfa la proprietà associativa $$ \forall \ a,b,c \in R \ \ \ (a+b)+c = a+(b+c) $$
• Esiste l'elemento neutro dell'addizione $$ \forall \ a \in R \ \ \ a + 0 = 0+a = a $$
• Esiste l'elemento opposto dell'addizione per ogni elemento di R $$ \forall \ a \in R \ \ \ a + (-a) = (-a)+a = 0 $$

Pertanto l'addizione forma un gruppo (R,+) con l'insieme dei numeri reali.

Poiché l'addizione è anche una operazione commutativa nell'insieme dei numeri reali, il gruppo (R,+) è un gruppo abeliano.

$$ \forall \ a,b \in R \ \ \ a+b = b+a $$

La prima operazione (+) dell'anello soddisfa tutte le proprietà dei corpi.

La seconda operazione (·)

Verifico se la seconda operazione · nell'insieme R soddisfa le proprietà di un corpo

• La moltiplicazione è un'operazione interna in R perché dati due elementi qualsiasi a,b∈R anche il loro prodotto appartiene a·b all'insieme R $$ \forall \ a,b \in R\ \ \ \ a \cdot b \in R $$
• La moltiplicazione soddisfa la proprietà distributiva rispetto alla prima operazione sia a destra che a sinistra $$ \forall \ a,b,c \in R \ \ \ \ a \cdot (b+c) = ab+ac $$ $$ \forall \ a,b,c \in R \ \ \ \ (a+b) \cdot c = ac+bc $$
• La moltiplicazione soddisfa la proprietà associativa $$ \forall \ a,b,c \in R \ \ \ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $$
• Esiste l'elemento neutro della moltiplicazione $$ \forall \ a \in R \ \ \ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a $$
• Esiste l'elemento inverso della moltiplicazione in R-{0} per ogni elemento di R non nullo $$ \forall \ a \in R \ , \ a \ne 0 \ \ \ a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1 $$

La seconda operazione (·) dell'anello soddisfa tutte le proprietà dei corpi.

Pertanto, l'anello (R,+,·) è un corpo.

Nota. In questo caso particolare si tratta di un corpo commutativo o campo, perché la seconda operazione (·) soddisfa anche la proprietà commutativa.

E così via.