I domini di integrità

Un dominio di integrità è un anello commutativo e unitario (S,+,·) privo di divisori dello zero. $$ ab=0 \Rightarrow a=0 \ ∨ \ b= 0 $$

Per capire se un anello commutativo (S,+,·) è un dominio di integrità, devo dimostrare che non si siano divisori dello zero nell'insieme S.

Cos'è un divisore dello zero? In un anello commutativo (S,+,·) un elemento non nullo a≠0 dell'insieme S è detto divisore dello zero se esiste un altro elemento non nullo b≠0 dell'insieme S tale che ab=0

Un esempio pratico

L'insieme dei numeri interi Z forma un anello (Z,+,·) rispetto all'addizione e alla moltiplicazione

$$ (Z,+,·) $$

Si tratta di un anello commutativo perché anche la moltiplicazione soddisfa la proprietà commutativa.

Il prodotto di due numeri interi non nulli a≠0 e b≠0 è sempre diverso da zero.

$$ \forall \ a,b \in Z \ , \ a \ne 0 \ , \ b \ne 0 \ \ \Longrightarrow \ \ ab \ne 0 $$

Nota. Se prendo due numeri interi con lo stesso segno (concordi) il prodotto è sempre un numero positivo. Se prendo due numeri interi con segno diverso (discordi) il prodotto è sempre negativo. Quindi, se il prodotto di due numeri interi è nullo $$ ab = 0 $$ almeno uno dei due fattori deve essere uguale a zero. $$ a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 $$

Pertanto, nell'insieme Z non ci sono divisori dello zero.

Ne consegue che l'anello commutativo (Z,+,·) è un dominio di integrità.

Esempio 2

Considero l'insieme delle classi resto modulo 6

$$ Z_6 = \{ 0,1,2,3,4,5 \} $$

L'insieme Z₆ forma un anello commutativo (Z₆,+,·) rispetto all'addizione (+) e alla moltiplicazione (·)

$$ (Z_6,+, \cdot) $$

Costruisco la tavola moltiplicativa dell'anello per verificare se ci sono dei divisori dello zero

In questo caso ci sono tre divisori dello zero. Sono i numeri 2, 3 e 4

Ad esempio, il prodotto 2·3 è uguale a zero perché ha resto nullo

$$ 2 \cdot 3 ≡ 0 \ mod \ 6 $$

Spiegazione. Calcolo il prodotto tra i numeri 2 e 3 $$ 2 \cdot 3=6 $$ Poi calcolo il resto della divisione del prodotto appena ottenuto (2·3=6) per il modulo 6 della classe $$ 6:6=1 \ \ r =0 $$ Il resto della divisione è zero. Quindi, nella classe modulo 6 l'operazione 2·3=0. Lo stesso risultato ottengo nel prodotto 3·2=0

Pertanto, essendoci dei divisori dello zero, l'anello commutativo (Z₆,+,·) non è un dominio di integrità.

In generale, un gruppo commutativo Z_n è un dominio di integrità solo se il numero di elementi (n) è un numero primo.

Esempio 3

Considero l'insieme delle classi resto modulo 7

$$ Z_7 = \{ 0,1,2,3,4,5,6 \} $$

In questo caso il numero di elementi è un numero primo (n=7)

L'insieme Z₇ forma un anello commutativo (Z₇,+,·) rispetto all'addizione (+) e alla moltiplicazione (·)

$$ (Z_7,+, \cdot) $$

Costruisco la tavola moltiplicativa dell'anello per verificare se esistono dei divisori dello zero

In questo caso ci sono non ci sono divisori dello zero.

Pertanto, l'anello commutativo (Z₇,+,·) è un dominio di integrità.

Osservazioni

Alcune osservazioni e note sui domini di integrità

• Se esiste l'elemento inverso della moltiplicazione (seconda operazione) per ogni elemento non nullo, allora il dominio di integrità è un campo.

  

• Un dominio di integrità finito è anche un campo
  Un dominio di integrità è un campo se tutti gli elementi sono invertibili nella moltiplicazione (seconda operazione).

  Dimostrazione. Considero un dominio di integrità (D,+,·) con un numero finito di n elementi diversi tra loro $$ D=\{ a_1,a_2, ..., a_n \} $$ Sottolineo che tutti gli elementi sono diversi tra loro.

  Esempio. Per verificare i passaggi con valori numerici considero l'insieme finito Z₇ $$ D=\{0,1,2,3,4,5,6 \} $$ e il dominio di integrità (Z₇,+,·).
  

  Prendo un elemento qualsiasi a_k di D diverso da zero (a_k≠0). $$ a_k \ne 0 $$ Costruisco un applicazione che moltiplica l'elemento a_k per gli altri elementi $$ f: a_k \cdot a_i $$ Ottengo dei prodotti diversi tra loro. Quindi, l'applicazione f è iniettiva Poiché l'insieme D è anche finito, l'applicazione f è anche suriettiva.

  Esempio. Se scelgo a_k=5 in Z₇, i prodotti con gli altri elementi di Z₇ sono tutti diversi.
  

  Questo vuol dire che a sua volta a_k è sicuramente uguale al prodotto per qualche altro elemento a₀ di D $$ a_k = a_k \cdot a_0 = a_0 \cdot a_k $$

  Esempio. Nell'esempio numerico se a_k=5 allora a₀=1 perché $$ 5 = 5 \cdot 1 = 1 \cdot 5 $$
  

  Quindi, un qualsiasi elemento x di D è uguale al prodotto di a_k per qualche a_i $$ x = a_k \cdot a_i $$

  Esempio. Basta riguardare la tavola moltiplicativa del caso Z₇. Il prodotto di a_k=5 per gli elementi di Z₇ genera tutti gli elementi di Z₇. $$ 5 \cdot 0 = 0 \\ 5 \cdot 1 = 5 \\ 5 \cdot 2 = 3 \\ 5 \cdot 3 = 1 \\ 5 \cdot 4 = 6 \\ 5 \cdot 5 = 4 \\ 5 \cdot 6 = 2 $$

  Sapendo che a_k=a_k·a₀ $$ x = ( a_k \cdot a_0 ) \cdot a_i $$ Per la proprietà commutativa $$ x = ( a_0 \cdot a_k ) \cdot a_i $$ Per la proprietà associativa $$ x = a_0 \cdot (a_k \cdot a_i) $$ Sapendo che x=a_ka_i $$ x = a_0 \cdot x $$ Poiché in un dominio di integrità la moltiplicazione è commutativa $$ x = a_0 \cdot x = x \cdot a_0 $$ Quindi a₀=1 è l'elemento neutro della moltiplicazione (unità) in D $$ a_0 = 1 $$ Questo dimostra l'esistenza dell'elemento neutro (unità) della moltiplicazione in D. Ne consegue che l'elemento unità 1 esiste nell'insieme D ed è uguale al prodotto di a_k per qualche a_j $$ 1 = a_k \cdot a_j $$

  Esempio. Nell'esempio numerico con Z₇, considerando a_k=5, l'elemento a_j=3 perché $$ 1 =5 \cdot 3 $$
  

  Questo dimostra anche che l'elemento a_k è invertibile per qualche elemento a_j dell'insieme D.

  Esempio. Nell'esempio numerico di Z₇ con a_k=5 e a_j=3 $$ 1 = 5 \cdot 3 $$ Di conseguenza, l'elemento inverso di a_k=5 è a_k^-1= 3.

  In conclusione, tutti gli elementi non nulli dell'insieme D sono invertibili.

  Esempio. Nell'esempio numerico di Z₇ tutti gli elementi non nulli dell'insieme Z₇ hanno l'elemento inverso. Ad esempio, l'elemento inverso di 1 è 1, l'elemento inverso di 2 è 4, l'elemento inverso di 3 è 5, l'elemento inverso di 4 è 2, l'elemento inverso di 5 e 3, l'elemento inverso di 6 è 6.
  

  Di conseguenza, il dominio di integrità (D,+,·) è un campo.

E così via