Campo di numeri

In algebra il campo numerico è una sottoclasse dei campi che contiene solo numeri o elementi numerici. Nella teoria dei numeri per campo di numeri, invece, si intende un estensione finita del campo dei numeri razionali$ \mathbb{Q} $.

In algebra, il campo numerico è considerato una sottoclasse del campo generale, ma con alcune caratteristiche specifiche.

Campo generale: è una struttura algebrica astratta definita su insiemi che non contengono necessariamente numeri.
Campo numerico è una sottoclasse di campi generali che include i numeri o gli elementi numerici, come nel caso dei numeri razionali, reali, complessi o delle loro estensioni algebriche.

Quindi, dal punto di vista algebrico un campo di numeri è un tipo di campo generale, ma non tutti i campi sono campi numerici.

Ad esempio, sono campi numerici: il campo dei numeri reali $ \mathbb{R} $, dei numeri complessi $ \mathbb{C} $, dei numeri razionali $ \mathbb{Q} $, ecc.

Nella teoria dei numeri, invece, un campo di numeri è un'estensione finita del campo dei numeri razionali $ \mathbb{Q} $.

In altre parole, è un campo che contiene $ \mathbb{Q} $ ed è generato aggiungendo un numero finito di elementi al campo dei razionali, tali che questi nuovi elementi siano soluzioni di equazioni polinomiali a coefficienti razionali.

Più formalmente, se $ K $ è un campo e contiene $ \mathbb{Q} $, allora $ K $ è un campo di numeri se la sua dimensione come spazio vettoriale su $ \mathbb{Q} $ è finita. Questa dimensione è detta grado dell'estensione di $ K $ su $ \mathbb{Q} $.

Ad esempio, il campo $ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $, che contiene tutti i numeri della forma $ a + b\sqrt{2} $ con $ a, b \in \mathbb{Q} $, è un campo di numeri con grado $ 2 $ su $ \mathbb{Q} $, poiché $ 1 $ e $ \sqrt{2} $ formano una base di $ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $ come spazio vettoriale su $ \mathbb{Q} $.

Un esempio pratico

Il campo $ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $ è un’estensione finita del campo dei numeri razionali $ \mathbb{Q} $, che contiene tutti i numeri della forma $ a + b\sqrt{2} $, dove $ a $ e $ b $ sono numeri razionali.

Questo campo è generato aggiungendo $ \sqrt{2} $ al campo dei numeri razionali.

Ad esempio, se prendo due elementi di $ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $, per esempio $ (1 + \sqrt{2}) $ e $ (3 - 2\sqrt{2}) $, posso sommarli:

$$ (1 + \sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 4 - \sqrt{2} $$

Posso anche moltiplicarli tra loro.

$$ (1 + \sqrt{2}) \times (3 - 2\sqrt{2}) = 1 \times 3 + 1 \times (-2\sqrt{2}) + \sqrt{2} \times 3 + \sqrt{2} \times (-2\sqrt{2}) $$

$$ = 3 - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 4 = -1 + \sqrt{2} $$

Il campo $ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $ è un’estensione finita di $ \mathbb{Q} $ perché è generata aggiungendo un numero finito di elementi al campo base. In questo caso si aggiunge solo l'elemento $ \sqrt{2} $

Questo campo contiene tutti i numeri razionali $ \mathbb{Q} $ e un numero finito di nuovi elementi, come $ \sqrt{2} $, che non appartengono a $ \mathbb{Q} $.

E così via.