Campo di numeri

In algebra il campo numerico è una sottoclasse dei campi che contiene solo numeri o elementi numerici. Nella teoria dei numeri per campo di numeri, invece, si intende un estensione finita del campo dei numeri razionali\( \mathbb{Q} \).

In algebra, il campo numerico è considerato una sottoclasse del campo generale, ma con alcune caratteristiche specifiche.

  • Campo generale: è una struttura algebrica astratta definita su insiemi che non contengono necessariamente numeri.
  • Campo numerico è una sottoclasse di campi generali che include i numeri o gli elementi numerici, come nel caso dei numeri razionali, reali, complessi o delle loro estensioni algebriche.

Quindi, dal punto di vista algebrico un campo di numeri è un tipo di campo generale, ma non tutti i campi sono campi numerici.

Ad esempio, sono campi numerici: il campo dei numeri reali \( \mathbb{R} \), dei numeri complessi \( \mathbb{C} \), dei numeri razionali \( \mathbb{Q} \), ecc.

Nella teoria dei numeri, invece, un campo di numeri è un'estensione finita del campo dei numeri razionali \( \mathbb{Q} \).

In altre parole, è un campo che contiene \( \mathbb{Q} \) ed è generato aggiungendo un numero finito di elementi al campo dei razionali, tali che questi nuovi elementi siano soluzioni di equazioni polinomiali a coefficienti razionali.

Più formalmente, se \( K \) è un campo e contiene \( \mathbb{Q} \), allora \( K \) è un campo di numeri se la sua dimensione come spazio vettoriale su \( \mathbb{Q} \) è finita. Questa dimensione è detta grado dell'estensione di \( K \) su \( \mathbb{Q} \).

Ad esempio, il campo \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \), che contiene tutti i numeri della forma \( a + b\sqrt{2} \) con \( a, b \in \mathbb{Q} \), è un campo di numeri con grado \( 2 \) su \( \mathbb{Q} \), poiché \( 1 \) e \( \sqrt{2} \) formano una base di \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) come spazio vettoriale su \( \mathbb{Q} \).

    Un esempio pratico

    Il campo \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) è un’estensione finita del campo dei numeri razionali \( \mathbb{Q} \), che contiene tutti i numeri della forma \( a + b\sqrt{2} \), dove \( a \) e \( b \) sono numeri razionali.

    Questo campo è generato aggiungendo \( \sqrt{2} \) al campo dei numeri razionali.

    Ad esempio, se prendo due elementi di \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \), per esempio \( (1 + \sqrt{2}) \) e \( (3 - 2\sqrt{2}) \), posso sommarli:

    $$ (1 + \sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 4 - \sqrt{2} $$

    Posso anche moltiplicarli tra loro.

    $$ (1 + \sqrt{2}) \times (3 - 2\sqrt{2}) = 1 \times 3 + 1 \times (-2\sqrt{2}) + \sqrt{2} \times 3 + \sqrt{2} \times (-2\sqrt{2}) $$

    $$ = 3 - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 4 = -1 + \sqrt{2} $$

    Il campo \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) è un’estensione finita di \( \mathbb{Q} \) perché è generata aggiungendo un numero finito di elementi al campo base. In questo caso si aggiunge solo l'elemento \( \sqrt{2} \)

    Questo campo contiene tutti i numeri razionali \( \mathbb{Q} \) e un numero finito di nuovi elementi, come \( \sqrt{2} \), che non appartengono a \( \mathbb{Q} \).

    E così via.

     

     

     


     

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