La matrice quadrata

La matrice quadrata è una matrice con lo stesso numero di righe e di colonne ( m=n ). E' detta matrice di ordine n ed è indicata con il simbolo A(n).

un esempio di matrice quadrata

A cosa servono le matrici quadrate? Le matrici quadrate hanno caratteristiche e proprietà specifiche rispetto alle altre che le rendono particolarmente utili nell'algebra lineare.

La diagonale della matrice quadrata

Le matrici quadrate sono caratterizzate dalla presenza di due diagonali.

  1. La diagonale principale. Data una matrice quadrata di ordine n, la diagonale principale è composta dagli elementi ai,i per i = 1 , ... , n. E' la diagonale discendente che parte in alto a sinistra e finisce in basso a destra.
    la diagonale principale della matrice quadrata
  2. La diagonale secondaria. Data una matrice quadrata di ordine n, la diagonale secondaria è composta dagli elementi ai,i per i = n , ... , 1. E' la diagonale che parte in alto a destra e finisce in basso a sinistra.
    la diagonale secondaria

Nota. Le matrici quadrate sono le uniche matrici ad avere delle diagonali. Le matrici rettangolari, matrici riga, matrici colonna e matrici nulle non hanno nessuna diagonale.

Le matrici diagonali, triangolari superiori e inferiori

In particolari situazioni le matrici quadrate sono dette diagonali, triangolari superiori o inferiori

  • Triangolare superiore. La matrice è detta triangolare superiore se aij = 0 per ogni i>j. Se sono uguali a zero tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale.
    un esempio di matrice quadrata triangolare superiore
    L'insieme delle matrici reali triangolari superiori di ordine n è indicato con Un(R).

    Strettamente triangolare superiore. La matrice è detta strettamente triangolare superiore se sono uguali a zero tutti gli elementi aij per ogni i≥j, ossia gli elementi della diagonale principale e tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale.
    un esempio di matrice quadrata strettamente triangolare superiore
    Una matrice strettamente triangolare superiore è anche triangolare superiore. L'insieme delle matrici reali strettamente triangolari superiori di ordine n è indicato con U*n(R).

  • Triangolare inferiore. La matrice è detta triangolare superiore se aij = 0 per ogni i<j. Se sono uguali a zero tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale.
    la triangolare inferiore della matrice
    L'insieme delle matrici reali triangolari inferiori di ordine n è indicato con Ln(R).

    Strettamente triangolare inferiore. La matrice è detta strettamente triangolare inferiore se sono uguali a zero tutti gli elementi aij per ogni i≤j, ossia gli elementi della diagonale principale e tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale.
    un esempio di matrice quadrata strettamente triangolare inferiore
    Una matrice strettamente triangolare inferiore è anche triangolare inferiore. L'insieme delle matrici reali strettamente triangolari inferiori di ordine n è indicato con L*n(R).

  • Diagonale. La matrice quadrata è detta diagonale se aij = 0 per ogni i≠j. Se sono uguali a zero tutti gli elementi al di sopra e al di sotto della diagonale principale. In pratica, una matrice diagonale è sia triangolare superiore che triangolare inferiore.
    un esempio di matrice quadrata diagonale
    L'insieme delle matrici reali diagonali di ordine n è indicato con Dn(R).

Attenzione. La definizione di triangolare superiore o inferiore non implica che gli altri elementi debbano essere diversi da zero.

Casi particolari di matrici quadrate

La matrice nulla è un caso particolare di matrice quadrata perché è contemporaneamente sia triangolare inferiore e superiore, sia strettamente triangolare inferiore e superiore, sia diagonale.
il caso di una matrice nulla

Un altro caso particolare è la matrice quadrata di ordine 1 perché è composta da un solo elemento a1,1.

un esempio di matrice quadrata di ordine 1

Per definizione la matrice quadrata di ordine 1 è sempre triangolare inferiore, triangolare superiore e diagonale.

Nota. Nel caso in cui a1,1 = 0, la matrice quadrata di ordine 1 è anche strettamente triangolare inferiore e superiore.
la matrice quadrata di ordine 1 nulla



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