La potenza di matrice

La potenza di una matrice si ottiene tramite la moltiplicazione righe per colonne della matrice per se stessa.

la potenza di matrice

Data una matrice quadrata A di ordine n e un numero intero non negativo k , la potenza Ak è uguale al prodotto ricorsivo della matrice A per se stessa per k-1 volte.

Attenzione. La potenza della matrice non è l'elevazione a potenza degli elementi della matrice. Questo si verifica solo in alcune circostanze come nelle matrici diagonali.

Un esempio di potenza di matrice

Ho la seguente matrice quadrata A di ordine 2 e voglio calcolare l'elevazione al cubo.

una matrice quadrata di esempio

Per calcolare la potenza cubica della radice devo moltiplicare la matrice per se stessa per tre volte.

un esempio di calcolo della potenza di matrice

Nota. Come si può notare la potenza A3 non conduce a una matrice con elementi elevati alla terza perché la moltiplicazione matriciale righe per colonne è un procedimento con proprietà differenti rispetto al prodotto fra numeri reali.
la potenza alla terza della matrici

Le matrici nilpotenti e idempotenti

Una matrice quadrata A di ordine n è detta nilpotente di ordine k se la potenza Ak è una matrice nulla (O).

matrice nilpotente

Ecco un esempio di matrice nilpotente.

esempio di matrice nilpotente

Una matrice quadrata A di ordine n è detta idempotente di ordine k se la potenza Ak è uguale a A.

la potenza idempotente di una matrice

Ecco un esempio pratico di matrice idempotente:

esempi di matrici idempotenti

Nota. Le matrici nilpotenti e idempotenti sono risultati possibili soltanto nella moltiplicazione riga per colonna tra matrici.

La potenza zero della matrice

Una qualsiasi matrice quadrata di ordine n elevata a zero dà come risultato una matrice unitaria I di ordine n.

la potenza di una matrice alla zero

La potenza della matrice con esponente negativo

Se l'esponente k della potenza è negativo, la potenza della matrice A si calcola moltiplicando per k volte la sua matrice inversa A-1.

la potenza negativa della matrice

Il caso delle matrici diagonali

Le matrici diagonali sono l'unico caso in cui la potenza della matrice coincide alla potenza dei singoli elementi.

la potenza di una matrice diagonale è uguale alla potenza degli elementi della matrice

Si tratta comunque di un caso particolare.

In tutti gli altri casi, la potenza di una matrice non coincide necessariamente con la potenza degli elementi.

Il caso della potenza del binomio di matrici

Nel caso delle matrici non vale la regola della potenza del binomio dei numeri reali.

la potenza del binomio non è la stessa fra matrici

Nota. E' un altro esempio della particolarità della potenza tra matrici che non va confusa con la potenza dei numeri reali, perché segue un procedimento di calcolo differente.



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