Il complemento algebrico o cofattore

Il complemento algebrico è il minore complementare della sottomatrice A(ij) moltiplicato per uno scalare (-1)i+j. E' anche detto cofattore aij.

la formula del complemento algebrico

Come calcolare il cofattore

Data una matrice A, calcolo il minore complementare dell'elemento aij,

Cos'è il minore complementare? Il minore complementare dell'elemento aij è il determinante della sottomatrice complementare ottenuta eliminando la riga i e la colonna j dalla matrice.
il minore complementare di un elemento

Poi moltiplico il minore complementare per (-1)ij

la formula del complemento algebrico

Ho così calcolato il cofattore di aij.

Il segno del cofattore cambia a seconda della posizione dell'elemento aij nella matrice.

la differenza tra minore complementare e complemento algebrico ( cofattore )

Quindi, in alcuni casi il cofattore coincide con il minore complementare mentre in altri ha segno opposto.

Un esempio pratico

Ho una matrice quadrata A di ordine 3.

un esempio di matrice

Voglio calcolare il cofattore di a11.

Estraggo la sottomatrice complementare di aij

la sottomatrice dell'elemento considerato

Poi calcolo il determinante della sottomatrice A(11) ossia il minore complementare di a11

il minore complementare dell'elemento a11

Infine, moltiplico il minore complementare per (-1)i+j ossia per (-1)2 poiché le coordinate dell'elemento sono i=1 e j=1.

il calcolo del cofattore

Quindi il cofattore di a11 è -2.

In questo caso il cofattore coincide con il minore complementare di a11. Tuttavia, non è sempre così perché dipende dalla posizione dell'elemento.

Nota. Se avessi calcolato il cofattore di a12, invece, avrebbe avuto il segno opposto perché (-1)1+2=-1. Il minore complementare di a12 è -6 mentre il cofattore di a12 è 6.
un altro esempio di calcolo del cofattore

Allo stesso modo posso calcolare tutti gli altri cofattori della matrice.



Per scrivere un commento

knowledge base
  1. Le matrici
  2. La somma delle matrici
  3. Il prodotto di uno scalare e una matrice
  4. La moltiplicazione tra matrici
  5. La potenza della matrice
  6. Il determinante