Numeri iperreali

I numeri iperreali sono un insieme numerico composto dai numeri reali, dai numeri infinitamente grandi (infiniti) e da quelli infinitamente piccoli (infinitesimali).

E' ovviamente più esteso dei numeri reali perché vi aggiunge altri due sottoinsiemi

• Numeri infiniti
  I numeri infiniti sono quei numeri maggiori di qualsiasi numero reale o minori di qualsiasi numero reale. $$ \forall \ x \in R \ \omega > x \ $$ $$ \forall \ x \in R \ \omega < x \ $$
• Numeri infinitesimi
  I numeri infinitesimi sono quei numeri minori di ogni numero reale positivo e maggiori di ogni numero reale negativo. Pertanto, i numeri infinitesimi posso considerarli come reciproci dei numeri infiniti. $$ \forall \ x \in R^+ \ \frac{1}{\omega} < x \ $$ $$ \forall \ x \in R^- \ \frac{1}{\omega} > x \ $$

Pur non essendo uno spazio metrico, l'insieme dei numeri reali ha una topologia che permette l'ordinamento dei numeri iperreali.

A differenza dei numeri reali, nei numeri iperreali gli infiniti non sono solo dei simboli e possono essere ordinati come veri e propri numeri.

$$ \omega < \omega + 1 < \omega +2 < ... $$

Se ω è un numero infinito anche ω+1 è un infinito ed è maggiore di ω. E via dicendo.

Lo stesso ragionamento vale per i numeri infinitesimi essendo questi ultimi un reciproco degli infiniti.

Il campo dei numeri iperreali

I numeri iperreali formano un campo ordinato detto campo dei numeri iperreali.

Il campo dei numeri reali è un sottocampo del campo dei numeri iperreali.

Nota. Il concetto dei numeri iperreali è oggetto di studio dell'analisi matematica non standard. Venne introdotto per la prima volta nel 1966 da Abraham Robinson dell'università Yale nel libro Non-Standard Analysis. Un esempio di insieme numerico iperreale è l'insieme dei numeri surreali.

E così via.