La differenza tra i numeri surreali e iperreali

I numeri surreali e iperreali sono entrambi concetti che si estendono oltre l'insieme dei numeri reali tradizionali, ma hanno origini e usi molto diversi in matematica

• I numeri surreali
  I numeri surreali sono stati introdotti da John Conway negli anni '70 e formano una classe che include non solo i numeri reali ma anche infiniti e infinitesimi. La costruzione dei numeri surreali si basa su un processo iterativo di formazione di coppie di insiemi, che permette di costruire un sistema numerico che è molto più ampio di quello dei numeri reali, includendo anche "numeri" che sono più grandi di qualsiasi numero reale o più piccoli di qualsiasi positivo reale.
• I numeri iperreali
  I numeri iperreali sono stati sviluppati nel contesto dell'analisi non standard, principalmente da Abraham Robinson negli anni '60. I numeri iperreali estendono i numeri reali includendo infiniti e infinitesimi, simili ai surreali, ma sono costruiti in modo formale diverso, utilizzando tecniche di logica matematica. Questi numeri vengono utilizzati per dare un trattamento rigoroso al calcolo infinitesimale. In altre parole, consentono la manipolazione delle quantità infinitamente piccole e grandi in un modo che estende il calcolo differenziale e integrale classico. Inoltre, a differenza dei numeri surreali, nel caso dei numeri iperreali valgono tutte le regole dei numeri reali. Ciò che cambia è l'introduzione del concetto di infinitesimo (ε) ossia dell'esistenza di un numero più grande di 0 e inferiore a qualsiasi altro numero reale. $$ \forall \ n \ \in R \ : \ 0 \le ε \le n $$

  Esempio. Se ho una successione di termini uguale a 1 nei numeri reali, nel caso dei numeri iperreali la successione è uguale a a 1±ε dove ε è un infinitesimo ( 1±ε si legge "uno più o meno un infinitesimo"). Questo perché, nel caso dei numeri iperreali, i numeri 1 e 1+ε o 1-ε sono numeri infinitamente vicini ma comunque diversi tra loro.

E così via.