Numeri decimali

Ad esempio, il numero 13,25 è un numero decimale.

$$ 13,25 $$

Le cifre prima della virgola (13) sono la parte intera del numero, mentre quelle che seguono dopo la virgola (25) sono la parte decimale (mantissa).

I numeri decimali posso classificarli in base alla loro parte decimale in

• Numeri decimali limitati
  Hanno un numero finito di cifre decimali non nulle. Ad esempio, \(0,25\). Sono sempre numeri razionali, poiché possono essere espressi come frazioni in cui il denominatore è una potenza di \(10\). Ad esempio: $$ 0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} $$

  Nota. I numeri interi sono un caso particolare di numeri decimali, in cui la parte decimale è uguale a zero. Ad esempio, il numero intero \(5\) può essere scritto come \(5,0\). Il numero intero \(-12\) può essere rappresentato come \(-12,0\). E via dicendo. Quindi, i numeri interi appartengono al sottoinsieme dei numeri decimali limitati, poiché hanno un numero finito di cifre decimali (pari a zero).

• Numeri decimali illimitati
  Hanno un numero infinito di cifre decimali. Possono essere ulteriormente distinti in:
  • Numeri periodici: le cifre decimali si ripetono secondo uno schema regolare (es. \(0,333...\)). Per convenzione, il blocco di numeri che si ripete dopo la virgola è indicato una sola volta con una barra sopra. ( es. \( 0,333.... = 0,\overline{3} \) ). Anche questi numeri sono sempre numeri razionali, poiché il loro sviluppo decimale ripetitivo permette di essere rappresentati come frazioni. Ad esempio: $$ 0,\overline{3} = \frac{1}{3}, \quad 7,25\overline{3} = \frac{725}{99} $$
  • Numeri non periodici: le cifre decimali non seguono alcuna periodicità; in questo caso, il numero è irrazionale (es. \( \pi = 3,14159...\)). I numeri illlimitati non periodici non corrispondono ai numeri razionali, sono invece numeri irrazionali. Ad esempio, il numero \( \pi = 3,14159... \) o la radice quadrata di \(2\) (\(\sqrt{2} = 1,41421...\)).

Pertanto, posso concludere che tutti i numeri razionali possono essere rappresentati come numeri decimali (limitati o periodici).

Tuttavia, non tutti i numeri decimali corrispondono a numeri razionali, perché i numeri decimali non periodici sono irrazionali.

I numeri periodici

I numeri periodici sono numeri decimali in cui le cifre decimali si ripetono seguendo uno schema regolare. Il blocco di cifre che si ripete dopo la virgola è chiamato periodo.

Solitamente, il periodo viene indicato una sola volta con una linea sopra le cifre che lo compongono. Ad esempio:

$$ 0,252525... = 0.\overline{25} $$

I numeri periodici si distinguono in due categorie principali:

• Numeri periodici semplici: il periodo coincide interamente con la parte decimale, senza altre cifre intermedie. Ad esempio, \(0,666...\) è un numero periodico semplice con periodo \(6\): $$ 0,666... = 0.\overline{6} $$
• Numeri periodici misti: nella parte decimale, oltre al periodo, è presente un blocco di cifre non ripetitive chiamato antiperiodo, che precede il periodo. Ad esempio, nel numero \(7,253333...\), l'antiperiodo è \(25\), mentre il periodo è \(3\):  $$ 7,253333... = 7,25\overline{3} $$

Questa distinzione tra numeri periodici semplici e misti mi permette di descrivere con maggiore precisione la struttura della parte decimale.

Il legame tra le frazioni e i numeri decimali

Come già anticipato, tutti i numeri razionali sono anche numeri decimali ma non vale l'inverso. Non tutti i numeri decimali sono anche numeri razionali.

I numeri razionali sono quei numeri che possono essere ottenuti tramite una frazione di numeri interi $ \frac{a}{b} $ e ogni frazione produce un numero decimale.

Una frazione ridotta ai minimi termini può produrre quattro tipi di numeri decimali:

• Numero intero: Se il denominatore è \(1\), il risultato è un numero intero.

  Esempio: \( \frac{7}{1} = 7.0 \).

• Numero decimale finito: Quando il denominatore è composto esclusivamente da potenze di \(2\) e/o \(5\), il numero decimale è finito.

  Esempio: \( \frac{7}{20} = \frac{7}{2^2 \cdot 5} = 0.35 \).

• Numero decimale periodico semplice: Se il denominatore contiene solo fattori primi diversi da \(2\) e \(5\), il risultato è un numero periodico semplice.

  Esempio: \( \frac{6}{21} = \frac{6}{3 \cdot 7} = 0.\overline{285714} \).

• Numero decimale periodico misto: Quando il denominatore include \(2\) e/o \(5\) insieme ad altri fattori primi, il numero è periodico misto.

  Esempio: \( \frac{7}{12} = \frac{7}{2^2 \cdot 3} = 0.58\overline{3} \). Qui l'antiperiodo è \(58\) (due cifre, dato da \(2^2\)) e il periodo è \(3\) (una cifra, corrispondente al fattore \(3\)). I fattori 2 e 5 del denominatore determinano il numero delle cifre dell'antiperiodo, mentre gli altri fattori primi stabiliscono il numero di cifre del periodo. In questo caso ci sono due 2 nel determinante, quindi le cifre dell'antiperiodo sono due (58). C'è invece un solo fattore primo diverso da 2 e 5 nel determinantore, pertanto il periodo è composto da una sola cifra (3) che si ripete illimitatamente.

Come trasformare un numero decimale periodico in una frazione

Per scrivere la frazione generatrice di un numero periodico posso utilizzare questa formula: $$ \text{Frazione generatrice} = \frac{N - A}{D} $$ Dove:

• \( N \): Il numero completo (senza virgola).
• \( A \): Le cifre che precedono il periodo (senza virgola).
• \( D \): Il denominatore, composto da tanti \(9\) quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti \(0\) quante sono le cifre dell'antiperiodo.

Esempio

Il numero decimale periodico semplice \(0.\overline{3}\) è generato da questa frazione

$$ \frac{N - A}{D} = \frac{3-0}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $$

Il numero decimale \(0.1\overline{23}\) è generato dalla frazione:

$$ \frac{N - A}{D} = \frac{123-1}{99} = \frac{122}{990} = \frac{61}{495} $$

Il numero decimale \( 13.2\overline{31} \) ha questa frazione generatrice:

$$ \frac{N - A}{D} = \frac{13231 - 132}{990} = \frac{13099}{990} = $$

In questo caso il numero completo senza virgola è $ N = 13231 $, la parte che precede il periodo è $ A = 132 $, il denominatore è composto da tanti \( 9 \) quante cifre del periodo (\( 2 \)) e tanti \( 0 \) quante cifre dell'antiperiodo (\( 1 \)).

Quindi, la frazione generatrice del numero \( 13.231\overline{31} \) è quindi \( \frac{13099}{990} \).

Questo metodo permette di ricostruire facilmente la frazione generatrice di qualunque numero decimale periodico.

La lunghezza della parte decimale

Per determinare la lunghezza della parte decimale, scrivo la frazione \( \frac{a}{b} \) in forma ridotta semplificando al massimo il numeratore e il denominatore.

Poi analizzo i fattori del denominatore \( b \).

• Se il denominatore è fatto SOLO di fattori \( 2 \) e/o \( 5 \)
  Il numero decimale è finito. La lunghezza della parte decimale è uguale al massimo esponente tra \( 2 \) e \( 5 \) nel denominatore.

  Esempio. Considero la frazione $$ \frac{7}{40} = 0,175 $$ In questo caso il denominatore scomposto in fattori primi è \( b = 2^3 \cdot 5 = 40 \). Il massimo esponente dei fattori primi è 3, quindi il numero ha 3 cifre nella parte decimale (175).

• Se il denominatore ha fattori diversi da \( 2 \) e \( 5 \)
  Il numero decimale è periodico puro. La lunghezza del periodo si trova calcolando \( k \), cioè il più piccolo \( k \) tale che $$ 10^k \equiv 1 \pmod{b} $$

  Esempio. Considero la frazione $$ \frac{6}{7} = 0,\overline{857142} $$ In questo caso il denominatore ridotto ai minimi termini è \( b = 7 \). Per conoscere il numero di cifre del gruppo periodico, quello che si ripete nella parte decimale, devo trovare il numero $ k $ tale che $$ 10^k \equiv 1 \pmod{7} $$ Significa che devo trovare quella potenza di 10^k che divisa per 7 restituisce un resto pari a 1.

  • Per k = 1 ottengo $ 10^1 = 10 $ che diviso 7 restituisce come resto 3. Non va bene
  • Per k = 2 ottengo $ 10^2 = 100 $ che diviso 7 restituisce come resto 2. Ancora no.
  • Per k = 3 ottengo $ 10^3 = 1000 $ che diviso 7 restituisce come resto 6. Niente ancora
  • Per k = 4 ottengo $ 10^4 = 10000 $ che diviso 7 restituisce come resto 4. Non va bene.
  • Per k = 5 ottengo $ 10^5 = 100000 $ che diviso 7 restituisce come resto 5. Ancora niente
  • Per k = 6 ottengo $ 10^6 = 1000000 $ che diviso 7 restituisce come resto 1. Finalmente l'ho trovato. Questo vuole dire che il periodo del numero è composto da k=6 cifre. In effetti il periodo del numero decimale $ \frac{6}{7} = 0,\overline{857142} $ è composto da sei cifre (857142).
     
• Se il denominatore è sia fattori \( 2 \) e/o \( 5 \) che altri fattori diversi
  Il numero è periodico misto. In questo caso, la parte finita, ossia l'antiperiodo, è determinato dal massimo esponente dei fattori \( 2 \) e/o \( 5 \). La lunghezza del periodo, invece, si calcola come nel caso periodico puro, usando i fattori "non \( 2 \) o \( 5 \)".
  

  Esempio. Considero la frazione $$ \frac{7}{132} = 0,05\overline{30} $$ Il denominatore ridotto ai minimi termini è \( b = 44 \) che scomposto in fattori primi è \( b = 2^2 \cdot 3 \cdot 11 \). Per conoscere il numero di cifre dell'antiperiodo, trovo il massimo esponente dei fattori primi 2 o 5. In questo caso il massimo esponente è 2, quindi l'antiperiodo ha due cifre (05). Per conoscere il numero di cifre del periodo, invece, devo considerare solo i fattori diversi da 2 e 5 che in questo caso sono $ 3 \cdot 11 = 33 $. Quindi, cerco il numero $ k $ più piccolo tale che $$ 10^k \equiv 1 \pmod{33} $$ Significa che devo trovare la potenza di 10^k che divisa per 33 restituisce un resto pari a 1.

  • Per k = 1 ottengo $ 10^1 = 10 $ che diviso 33 restituisce come resto 10. Non va bene
  • Per k = 2 ottengo $ 10^2 = 100 $ che diviso 33 restituisce come resto 1. Ok, l'ho trovato. Questo significa che il periodo del numero è composto da k=2 cifre. In effetti il periodo del numero decimale $ \frac{7}{132} = 0,05\overline{30} $ è composto da due cifre (30).

  In alternativa, per trovare le cifre del periodo avrei potuto scomporre il calcolo $ 10^k \equiv 1 \pmod{33} $ per i singoli fattori primi 3 e 11 ovvero $$ 10^{k_1} \equiv 1 \pmod{3} $$ $$ 10^{k_2} \equiv 1 \pmod{11} $$ e poi calcolare il minimo comune multiplo tra i valori $ k_1 $ e $ k_2 $ $$ k=mcm(k_1, k_2) $$ In sintesi, avrei trovato che $ k_1 =1 $ e $ k_2 = 2 $, e il loro minimo comune multiplo è uguale a due $$ k=mcm(2,1)=2 $$ Il risultato finale è lo stesso.

Le cifre significative del numero decimale

Le cifre significative di un numero decimale sono quelle che forniscono informazioni utili e precise sul valore numerico, escludendo gli zeri non necessari alla sinistra delle altre cifre.

Gli zeri a sinistra della parte decimale (prima di altre cifre significative) non contano come parte significativa.

Ad esempio, scrivere 013,25 e 13,25 è la stessa cosa. In entrambi i casi le cifre significative sono 13,25.

Lo zero iniziale non è significativo, in quanto è semplicemente un riempitivo che non aggiunge informazioni al valore numerico.

Nota. Gli zeri intermedi o finali, invece, possono essere significativi, in quanto indicano il grado di precisione o il risultato di un arrotondamento (es. \(0,270\) ha tre cifre significative, indicando un arrotondamento tra \(0,265\) e \(0,274\)).

Quando un numero è espresso in notazione scientifica, la parte significativa è costituita dal blocco di cifre che precede la potenza di dieci.

Ad esempio \(3,17 \times 10^{-1}\) ha come parte significativa \(3,17\).

Il numero \(3,170 \times 10^{-1}\) ha come parte significativa \(3,170\) e include l'informazione portata dallo zero finale, perché fornisce il grado di precisione del numero.

Questa rappresentazione consente di indicare con precisione sia il valore numerico sia il grado di accuratezza o incertezza.

E così via.