Differenza insieme denso e completo
Cos'è un insieme denso
Un insieme numerico è detto denso se presi due numeri qualsiasi a e b dell'insieme esiste sempre un numero c compreso tra i due numeri. $$ a < c < b $$
Pertanto, tra due numeri qualsiasi ne esistono infiniti.
Questo equivale a dire che tutti gli insiemi densi sono insiemi infiniti ossia hanno infiniti elementi.
Esempio. Sono insiemi densi l'insieme dei numeri razionali Q e l'insieme dei numeri reali R.
Non tutti gli insiemi infiniti sono densi.
Viceversa, tutti gli insiemi densi sono anche insiemi infiniti.
Esempio. L'insieme dei numeri naturali N è un insieme infinito ma non è denso perché, presi due numeri naturali contingui n e n+1, non esistono altri numeri naturali intermedi tra loro.
Cos'è un insieme completo
Un insieme denso è detto completo quando è possibile mettere in corrispondenza biunivoca i numeri dell'insieme con i punti della retta.
A ogni punto della retta deve corrispondere uno e un solo numero dell'insieme e viceversa.
Esempio. L'insieme dei numeri reali è un insieme completo perché è denso e a ogni numero reale corrisponde un punto della retta. Viceversa, l'insieme dei numeri razionali è soltanto denso perché esistono punti della retta non corrispondenti ai numeri razionali (es. pi greco, radice di due, ecc. detti numeri irrazionali).
Il concetto di completezza dell'insieme permette di capire che due insiemi infiniti possono essere confrontati e avere diverse densità.
Esempio. L'insieme dei numeri reali e l'insieme dei numeri razionali sono entrambi insiemi densi e infiniti. Tuttavia, l'insieme dei numeri reali è anche completo. Quindi l'insieme dei numeri reali è più denso dell'insieme dei numeri razionali.
E così via.