Esercizio calcolo integrale 35
Devo risolvere l'integrale
$$ \int \frac{e^{x+1}}{3+e^x} \ dx $$
Per prima cosa semplifico ex+1=ex·e
$$ \int \frac{e^x \cdot e}{3+e^x} \ dx $$
$$ e \cdot \int \frac{e^x}{3+e^x} \ dx $$
Per risolvere l'integrale utilizzo il metodo della sostituzione
Calcolo il differenziale di 3+ex
$$ d(3+e^x)=e^x \ dx $$
da cui ricavo dx
$$ dx = \frac{d(3+e^x)}{e^x} $$
Sostituisco dx=d(3+ex)/ex nell'integrale
$$ e \cdot \int \frac{e^x}{3+e^x} \ dx $$
$$ e \cdot \int \frac{e^x}{3+e^x} \cdot \frac{d(3+e^x)}{e^x} $$
$$ e \cdot \int \frac{d(3+e^x)}{3+e^x} $$
$$ e \cdot \int \frac{1}{3+e^x} \ d(3+e^x) $$
Introduco la variabile ausiliaria t=3+ex
$$ e \cdot \int \frac{1}{t} \ dt $$
Ora l'integrale è immediato ∫1/t dt=log|t|+c
$$ e \cdot \int \frac{1}{t} \ dt = e \cdot \log |t|+c $$
Sapendo che t=3+ex
$$ e \cdot \log |t|+c = e \cdot \log |3+e^x| + c $$
Quindi, la soluzione dell'integrale è
$$ \int \frac{e^{x+1}}{3+e^x} \ dx = e \cdot \log |3+e^x| + c $$
E così via.
