Esercizio calcolo integrale 35

Devo risolvere l'integrale

$$ \int \frac{e^{x+1}}{3+e^x} \ dx $$

Per prima cosa semplifico ex+1=ex·e

$$ \int \frac{e^x \cdot e}{3+e^x} \ dx $$

$$ e \cdot \int \frac{e^x}{3+e^x} \ dx $$

Per risolvere l'integrale utilizzo il metodo della sostituzione

Calcolo il differenziale di 3+ex

$$ d(3+e^x)=e^x \ dx $$

da cui ricavo dx

$$ dx = \frac{d(3+e^x)}{e^x} $$

Sostituisco dx=d(3+ex)/ex nell'integrale

$$ e \cdot \int \frac{e^x}{3+e^x} \ dx $$

$$ e \cdot \int \frac{e^x}{3+e^x} \cdot \frac{d(3+e^x)}{e^x} $$

$$ e \cdot \int \frac{d(3+e^x)}{3+e^x} $$

$$ e \cdot \int \frac{1}{3+e^x} \ d(3+e^x) $$

Introduco la variabile ausiliaria t=3+ex

$$ e \cdot \int \frac{1}{t} \ dt $$

Ora l'integrale è immediato ∫1/t dt=log|t|+c

$$ e \cdot \int \frac{1}{t} \ dt = e \cdot \log |t|+c $$

Sapendo che t=3+ex

$$ e \cdot \log |t|+c = e \cdot \log |3+e^x| + c $$

Quindi, la soluzione dell'integrale è

$$ \int \frac{e^{x+1}}{3+e^x} \ dx = e \cdot \log |3+e^x| + c $$

E così via.

 


 

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Il calcolo integrale